《概率论与数理统计》3-2.ppt

第三节 边缘分布与随机变量的独立性 二、随机变量的独立性 三、 条件分布 一、边缘分布 二维随机向量(X,Y)作为一个整体, 具有联合 分布函数F(x,y), 而分量X和Y都是一维随机 变量, 它们各有其分布, 分别记为 FX(x) 和 FY(y), 依次称为向量 (X,Y) 关于分量X和Y 的边缘分布函数. 本节主要讨论二维离散型 随机向量 (X,Y)分别关于X和Y的边缘分布律 和二维连续型随机向量 (X,Y)分别关于X和Y 的边缘概率密度函数. 边缘分布函数完全由联合分布函数确定. 解 例1 1. 离散型变量的边缘分布律 定义 例2 令随机变量X表示在1,2,3,4中等可能地取一个 值, 令随机变量Y表示在1至 X中等可能地取一个值. 求(X,Y) 的联合分布律和X与Y的边缘分布律. 解 P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=(1/4)(1/i),(i≥j), 于是(X,Y)的联合分布律和X与Y的边缘分布律为: 例3 把3个白球和3个红球等可能地放入甲乙三个盒子中. 记落入甲盒子的白球个数为X, 落入乙号盒子的红球个数为Y. 求(X,Y)的分布律和关于X和Y的边缘分布律. 解 显然有 又因为事件(X=i)与事件(Y=j)相互独立,所以有 用表格可如下表示 2. 连续型变量的边缘密度函数 边缘密度函数完全由联合密度函数所决定. 设连续型二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y), 则 从而得到X和Y的概率密度函数分别为 解 X的密度函数 fX(x) 为 Y的密度函数 fY(y) 为 例5 设随机变量X和Y具有联合概率密度 求边缘概率密度fX(x)和fY(y). 解 解 (X,Y)的联合密度函数 则(X,Y)关于X的边缘密度函数 (X,Y)关于Y的边缘密度函数 (1) (X,Y)关于X的边缘密度函数 例7 (2) (X,Y)关于Y的边缘密度函数 例7 注意 两个正态变量X,Y，构成正态向量(X,Y),有多种方法，不同的参数?对应不同的正态向量(X,Y). 随机变量相互独立是概率论中非常重要的概念,它是随机事件相互独立的推广.本节主要讨论两个随机变量相互独立的一般性定义, 然后对两个离散型随机变量和两个连续型随机变量相互独立进行不同的处理. 一般结论:X与Y相互独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y), 即 (X,Y)的联合分布函数 F(x,y)等于x的函数与y的函数的乘积. 即 F(x,y)=G(x)H(y) G和H不一定是分布函数. 定义3.1 设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数和 边缘分布函数分别为F(x,y),FX(x)和FY(y). 如果对 任意的x,y有 F(x,y)=FX(x)FY(y) (联合分布函数等于边缘分布函数的乘积) 则称随机变量X和Y相互独立. 定理 设二维离散性随机变量 (X,Y) 的联合分布律 和边缘分布律分别为pij ,(i,j=1,2,…)和pi. ,(i=1,2,…)、 p.j, (j=1,2,…),则X与Y相互独立的充分必要条件是对 (X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有 即 (联合分布律等于边缘分布律的乘积). 定理 设二维连续型随机变量(X,Y) 的联合密度函 数f(x,y)和边缘密度函数分别为fX(x)和fY(y) , 则X 与Y相互独立的充分必要条件是对任意的x,y,有 ?(联合密度函数等于边缘密度函数的乘积) 一般的结论 设二维连续性随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y), 则X与Y相互独立的充分必要条件是对任意的x,y,有 即联合密度函数f(x,y)等于x的函数与y的函数的乘积. 其中g和h不一定是分布函数. 证明 (X,Y)的可能取值为 (0,0),(0,1), (1,0), (1,1), 则 (X,Y) 的联合分布律和边 缘分布律如右表所示. 例8 袋中有2个黑球3个白球,从袋中随机取两次,每 次取一个球,取后不放回.令 证明X与Y不相互独立. 例9 设随机向量(X,Y)的概率密度函数为 试证X和Y相互独立. 证明 于是有 f(x,y)= fX(x) fY(y) 所以X和Y相互独立. 解 (1)X与Y的密度函数分别为 因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合密度函数 例10 设X服从参数为λ=1的指数分布,Y~U(0,1),且 X与Y相互独立. (1)写出(X,Y)的联合密度函数f(x,y); (2)求P(X+Y≦1). 解 (2)因为 所以 例10 设X服从参数为λ=1