《概率论与数理统计》课件之14.ppt

(0,1)分布 求和后→二项分布 泊松分布 求和后→泊松分布 卡方分布 求和后→卡方分布 正态分布 求和后→正态分布 协性质 * 8 6 10 6 10 乙命中环数 9 8 8 8 7 甲命中环数 第五次 第四次 第三次 第二次 第一次 0 1 2 2 3 4 5 4 6 8 10 甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下： 成绩（环） 射击次序 ⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩； ⑵ 请根据这两名射击手的成绩在 下图中画出折线统计图； ⑶ 现要挑选一名射击手参加比 赛，若你是教练，你认为挑 选哪一位比较适宜？为什么？ 甲射击成绩与平均成绩的偏差的和： 乙射击成绩与平均成绩的偏差的和： （7-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（9-8）= （10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）= （10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2= ？ （7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2= ？ 0 0 甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和： 乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和： 2 16 上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？ ——与射击次数有关！ 所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性 S2= [(x1－x)2＋ (x2－x)2 ＋…＋ (xn－x)2 ] 1 n 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差. 在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 方差用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小). 若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机 称 为 X 的均方差或标准差. 定义 即 D (X ) = E [X - E(X)]2 变量 X 的方差, 记为D (X ) 或 Var (X ) 两者量纲相同 概念 D(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度 —— 数 §4.2 方差 若 X 为离散型 r.v.，分布律为 若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x) 计算方差的常用公式： D (C) = 0 D (aX ) = a2D(X) D(aX+b ) = a2D(X) 特别地，若X ,Y 相互独立，则 方差的性质 性质 性质 1 的证明： 性质 2 的证明： 性质 3 的证明： 当 X ,Y 相互独立时， 注意到， 若 相互独立， 为常数 则 若X ,Y 相互独立 D (X ) = 0 P (X = E(X))=1 称为X 依概率 1 等于常数 E(X) 例 设X ~ P (?), 求D ( X ). 解 方差的计算 例1 例 设 X ~ N ( ?, ? 2), 求 D( X ) 解 例3 常见随机变量的方差 分布 方差 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p(1-p) B(n,p) np(1-p) P(?) ? 方差表 分布 方差 概率密度 区间(a,b)上 的均匀分布 E(?) N(?,? 2) 例 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X – Y | ). 解 故 例4 例 设 求 E (Y ), D(Y ). 解 例6 标准化随机变量 设 r.v. X 的期望E(X )、方差D(X ) 都存在, 且 D(X ) ? 0, 则称 为 X 的标准化随机变量. 显然， 仅知 r.v.的期望与方差 并不能确定其分布 P -1 0 1 0.1 0.8 0.1 P -2 0 2 0.025 0.95 0.025 与 有相同的 期望方差 但是分布 却不相同 例如 例 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 – 2 X , 求Y 的密度函数. 解 例9 在已知分布类型时,若知道其期望和 方差,便常能确定分布. 问题 对于二维 r.v. (X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维 r.v. 除每个 r.v.各自的概率特 性外, 相互之间可能还有某种联系. 数 便反映了 r.v. X , Y 之间的某种关系. § 4.4 怎样用一个数去反映这种联系? 称 为 X ,Y 的协方差. 记为 协方差和相关系数的定义 定义 定义 若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称 为X ,Y 的 相关系数，记为 若 称 X ,Y 不相关. 协方差的性质