《概率论与统计原理》第2章.ppt

第二章 随机变量及其分布 §2.1 随机变量及其分布函数 2.1.1 随机变量 随机变量是随机试验中测量的量，是随机试验的数值描述，是取值带随机性的变量。 1、随机变量的定义 设E为随机试验，Ω={ω}为其样本空间，若对任意ω ∈Ω，有唯一实数X（ω）与之对应，则称X=X（ω）是随机变量，简记作X。 2、随机变量和事件之间的关系 2、随机变量和事件之间的关系 对于任一随机变量X和任意实数a，b，则{X=a}，{Xa}，{X≤a}，{ a X≤b }，{ a≤X≤b}等都是随机事件 3、随机变量的分类 离散型随机变量的取值为有限个或者可数无限多个，理论上我们可以将其所有可能取值一一列举出来。 连续型随机变量的取值可以是某一区间内的一切实数值。 2.1.2 随机变量的分布函数 1、分布函数的定义 设 X 是一个随机变量，对任意x∈(-∞，+∞)，称函数F (x) = P{X≤x}为随机变量 X 的分布函数。 2、分布函数的性质 （1）有界性 0≤F（x）≤1， x∈(-∞，+∞) （2）单调不减性 对任意x1＜x2，有F （x 1 ）≤ F（x2 ） P{x1＜X≤x2}= F（x2 ）-F （x 1 ） （3）右连续性 F（x ）是右连续函数。 （4） F（ +∞ ）=1， F（ -∞ ）=0 §2.2 离散型随机变量 2.2.1离散型随机变量及其分布 1、离散型随机变量的定义 如果随机变量的所有可能取的值只有有限个或可数无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。离散型随机变量的例子： 观测一小时内达到某收费站的汽车数量 110每天接到报警电话的次数 2、离散型随机变量概率分布的表示方法 其中 3、离散型随机变量概率分布的性质 （1）pi ≥ 0 （2）Σ pi =1 4、离散型随机变量的分布函数 例1 给定离散型随机变量X的概率分布如下： （1）验证此分布满足概率分布的基本性质； （2）求X的分布函数F（x）； （3）作出F（x）的图形； （4）求P{0≤X≤1.5}， P{1≤X＜1.5}， P{1＜X＜1.5} 2.2.2 常用离散型概率分布 1、两点分布（ 0-1分布或伯努利分布） 随机变量X只取两个可能值0和1，且 P{X=1}=p，P{X=0}=1 – p（0p1） 则称X服从参数为p的0-1分布。 2、二项分布 B(n，p) 如果随机变量X的概率分布为 （k=0，1，…，n） 其中0p1，q=1-p，称随机变量X服从参数为（n，p）的二项分布，记作X～B（n，p）。 （1）二项分布典型应用：n重伯努利试验 如果每次试验都只有“成功”和“失败”两种结局，并且各次试验之间相互独立，即各次试验中成功的概率相同，将试验独立进行n次，就是 n重伯努利试验。以X表示n重伯努利试验中成功的次数，则随机变量X服从参数为（n，p）的二项分布，其中p是每次试验成功的概率。 （2）二项分布的最可能次数（概率最大的次数） 　设随机变量X服从参数为（n，p）的二项分布，若如果（n+1）p是整数，则（n+1）p -1和（n+1）p是最可能次数；如果（n+1）p不是整数，其整数部分m=[（n+1）p]，是最可能次数。 例2 有9个工人，间歇地使用电力。假设在任一时刻每位工人都以同样的概率0.2需要一个单位的电力，并且各位工人工作相互独立。求最大可能有多少位工人同时需要供应一个单位的电力？ 例3 据历史资料显示，某种疾病患者的自然痊愈率为0.25。为了试验一种新药，某医生把此药给10个病人服用，如果这10人中至少有4人治好了，则认为新药有效，否则认为新药无效。求新药有效并把痊愈率提高到0.35，但通过使用却被否定的概率。 3、泊松分布 如果随机变量X的概率分布为 其中参数λ＞0，则称随机变量 X服从参数为λ的泊松分布。 设X服从参数为（n，p）的二项分布，当 n→∞，p→0，并且n p适中，则二项分布概率可以利用泊松分布概率近似计算，即 例4 设有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障需要一个人去处理，（1）问至少要配备多少维修工人，才能保证设备发生故障而不能及时得到维修的概率小于0.01？若改为一人负责维修20台或3人负责维修80台，求这两种情况下，设备发生故障而不