【优化方案】2012高中数学第1章1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5.ppt

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山东水浒书业有限公司· 优化方案系列丛书 第1章 解三角形 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练 山东水浒书业有限公司· 优化方案系列丛书 第1章 解三角形 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练 返回 * 1.1.2 余弦定理 学习目标 1.了解向量法证明余弦定理的推导过程. 2.掌握余弦定理并能解决一些简单的三角度量问题. 课堂互动讲练 知能优化训练 1. 1.2 余弦定理 课前自主学案 课前自主学案 温故夯基 1.在Rt△ABC中,C=90°,三边满足勾股定理___________. 2.在△ABC中,正弦定理是______=______=______ a2+b2=c2 余弦定理及推论 知新盖能 1.你能用坐标法证明余弦定理吗? 思考感悟 提示:建立如图所示的坐标系,则A(0,0),B(c,0),C(bcos A,bsin A). 由两点间距离公式得: BC2=b2cos2A-2bccos A+c2+b2sin2A 即a2=b2+c2-2bccos A. 同理可证:b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. 2.余弦定理和勾股定理有何关系? 提示:勾股定理是余弦定理的特例,对于a2=b2+c2-2bc·cosA,若A=90°,则a2=b2+c2.  课堂互动讲练 考点突破  已知两边及一角解三角形 已知三角形的两边与一角求第三边,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边). 例1 【思路点拨】 可先由正弦定理求出角C,然后再求其他的边和角,也可以由余弦定理列出关于边长a的方程,首先求出边长a,再由正弦定理求角A、角C. 已知三边解三角形 已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角,再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角,进而求出第三个角. 在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sin C. 例2 【思路点拨】 在三角形中,大边对大角,所以a边所对角最大,然后根据已知三边可用余弦定理求三角. 判断三角形的形状 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考,可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系,从而判断三角形的形状,也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换,得出三角形各内角之间的关系,从而判断三角形形状. 在△ABC中,acos A+bcos B=ccos C,试判断三角形的形状. 【思路点拨】 利用余弦定理把边与角的关系转化为边与边的关系. 例3 通分整理得: a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0. 展开整理得(a2-b2)2=c4. ∴a2-b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2. 根据勾股定理,知△ABC是直角三角形. 【名师点评】 判断三角形的形状时,如果遇到的式子含角的余弦或边的二次式,那么要考虑用余弦定理;如果遇到的式子含角的正弦或边的一次式,那么大多情况用正弦定理;若是以上特征均不明显,则要考虑两个定理综合应用. 互动探究2 本题条件变为bcos A=acos B,试判断△ABC的形状. 1.余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,就可以求得第四个量:(1)已知两边与它们的夹角,可以求得第三边;(2)已知两边与其中一边的对角,可以代入余弦定理,看成关于另一边的二次方程,从而解得另一边;(3)已知三角形的三边可以求得三角形的三个角.从这里可以看出,利用余弦定理解三角形时,条件中必须至少知道两边. 方法感悟 2.余弦定理与勾股定理 余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角. * 山东水浒书业有限公司· 优化方案系列丛书 第1章 解三角形 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练

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