【数学】2.2.3向量数乘运算及其几何意义2.ppt

* 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 2.2 平面向量的线性运算 第二章 平面向量 练习1： 有一边长为１的正方形ABCD，设　　 求：　 Ｄ Ｃ Ａ Ｂ E O F G 2、判断题： （1）相反向量就是方向相反的向量 （2） （3） （4） 在△ABC中，必有 （5）若 ， 则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。 （ 错 ） （对 ） （错） （错） （对 ） 3、选择题： （1）在△ABC中， ，则 等于（ ） （2）如图，已知 且四边形ABCD为平行四边形，则 （ ） O B A D C B B 4、填空题： 驾考宝典网 / 驾考宝典 驾考宝典网 /km1/ks/ 驾考宝典2016科目一 驾考宝典网 /km4/ks/ 驾考宝典2016科目四 驾考宝典 /kaoshi/km4/ 驾考宝典科目四 驾考宝典 /kaoshi/km3/ 驾考宝典科目二 驾考宝典 /kaoshi/km1/ 驾考宝典科目一 /kaoshi/computer/ 驾考宝典2016电脑版 /kaoshi/mobile/ 驾考宝典2016手机版 驾考宝典网 / 驾校宝典 驾照宝典 驾驶宝典 实际背景 在物理中：位移与速度的关系：s=vt， 力与加速度的关系：f=ma. 其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量 = A B C D + + (- ) (- ) (- ) - A B C D + + ＝ 练习1: O A P B 探究: 相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？ -a 如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).. a a -a a a -a OA= a+a+a PB= (-a)+(-a) )+(-a) =3a =-3a -a 定义: 特别地，当 λ=0 或 a = 0 时, λa = 0 (2) 方向 当λ0时,λa的方向与a方向相同； 当λ0时,λa的方向与a方向相反； (1) 长度 |λa|=|λ|·|a| 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。 它的长度和方向规定如下： 几何意义：将 的长度扩大（或缩小） 倍，改变（不改变） 的方向，就得到了λ a |λ| a a 数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若 ,当 沿 的方 向放大了 倍.当 沿 的方向缩短了 倍. 当 ,沿 的反方向放大了 倍.当 沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出 用数乘向量能解决几何中的相似问题. 练习2: 结论: 2a+2b=2(a+b) 结论: 3(2a)=6 a (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a≠0)，并比较。 (2) 已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。 = 三、向量的数乘运算满足如下运算律： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 解: (1) 原式 = (2) 原式 = (3) 原式 = (3-2-1)a+(3+2)b = 5b (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c = -a+5b-2c -12a 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 　　对于任意的向量 a,b 以及任意实数 λ,μ , 恒有 λ(μ1a±μ2b)= λμ1a±λμ2b 思考: 当a与b同方向时，有b=μa; 当a与b反方向时，有b=-μa， 所以始终有一个实数λ，使b=λa。 1、如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？ 2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa ？ 对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa , 那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。 若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有|b|=μ|a|,且 向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b=λa. 定理: 小结回顾: 二、知识应用： 1.证明 向量共线；