【数学】2.3.1数乘向量课件(北师大版必修4).ppt

第二章 平面向量 2.3.1 数乘向量 1.向量加法的三角形法则 回顾旧知: 2.向量加法的平行四边形法则 3.向量的减法(三角形法则） 实际背景 探索1: a C a A B a O -a Q -a M N -a P 已知非零向量 a （如图） a 试作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a) 根据向量加法的法则可得 思考:相同向量相加以后， 和的长度与方向有什么变化？ O A B C 由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把a+a+a记作3 a，即OC=3a. 显然，3a的方向与a的方向相同，3a 的长度是a的长度的3倍，即|3a | = 3 |a |. P Q M N 由图可知， PN=PQ+QM+MN =(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a) 记作-3 a，即PN= - 3a 显然，-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a | =3 | a | 。 （1） 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下： （2）当 时， 的方向与 的方向相同； 当 时， 的方向与 的方向相反。 特别的，当 时， 思考:向量数乘和实数乘法有那些相同点? 那些不同点? ① ? a 是一个向量；② ? a 的长度等于?的绝对值与向量a的长度的乘积。 = 探索2: (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。 设 为实数，那么 特别的，我们有 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 ，以及任意实数 ， 恒有 第一分配律 第二分配律 例1.计算： 例2 探索3如图：已知 ， ，试判断 与 是否共线． A B D E C ∴ 与 共线． 解： 思考: 问题2：如果 向量a与b共线 那么，b=λa ？ 问题1：如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？ 对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ, 向量共线定理 对于向量a （ a ≠ 0 ）、 b ，如果有一个实数?，使 b = ? a ，那么由实数与向量的积的定义知， a与b共线. 反过来，已知向量a与b共线， a ≠ 0 ，且向量b的长度是向量a的λ倍，即| b |︰| a |= λ，那么当向量a与b同方向时，有b =λ a ，当向量a与b反方向时，有b = - λ a . 也就是说：如果a与b共线，那么有且只有一个实数 ?，使b = ? a . 例3:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的 中点，点N是BD上的一点， ， 求证M、N、C三点共线. A M B C D N 提示：设AB = a BC = b 则MN= … = a + b MC= … = a+ b 所以M.N.C三点共线 一、①λa 的定义及运算律 ②向量共线定理 (a≠0) b=λa 向量a与b共线 二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上 直线AB∥直线CD