【数学】2.5从力做的功到向量的数量积课件(北师大必修4).ppt

【探究新知】 思考：请同学们回忆物理学中做功的含义? 力做的功：W = |F|?|s|cos? ?是F与s的夹角 问对一般的向量a和b，如何定义这种运算？ 向量夹角的概念： ①e?a = a?e =|a|cos?（e 是单位向量） ②a?b ? a?b = 0 ③当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|， 特别的a?a = |a|2。 ④cos? = a?b／ |a||b| （|a||b|≠0） ⑤ |a?b|≤|a||b| * * 第二章 平面向量 §2.5 从力做的功到向量的数量积 ? s F ? = 0? ? = 180? ? ? ? ? O O O O O O A A A A A A B B B B B B C 范围0?≤?≤180? 当? = 0?时，两向量同向； 当? = 180?时，两向量反向； 当? = 90?时，两向量垂直，记作a?b 由于零向量的方向是不确定的，为今后方便起见， 我们规定零向量可与任一向量垂直. 思考与交流 1.射影的概念是如何定义的？ A OO BO B1O a b ? A OO BO B1O a b ? A OO BO (B1)O a b ? 定义：|b|cos?叫作向量b在a方向上的射影（也叫投影）. 注意：①射影也是一个数量，不是向量。 ②当?为锐角时射影为正值； 当?为钝角时射影为负值； 当?为直角时射影为0； 当? = 0?时射影为 |b|； 当? = 180?时射影为 ?|b|. 已知两个向量a和b，它们的夹角为?，我们 把|a||b|cos?叫作a与b的数量积（或内积）. 记作a?b 即a?b = |a||b|cos? . 思考与交流 2 如何定义向量数量积的几何意义？ 由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的 数量积哪些的性质? 几何意义：数量积a?b等于a的长度与b在a方向上射影 |b|cos?的乘积，或b的长度与a在b方向上 射影| a |cos?的乘积。 性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位 向量。 两个向量相等时，两向量的数量积有怎么算呢？ 向量长度的平方 巩固深化，发展思维 判断下列各题正确与否： ①若a = 0，则对任一向量b，有a?b = 0. （ √ ） ②若a ? 0，则对任一非零向量b，有a?b ? 0. ( × ) ③若a ? 0，a?b = 0，则b = 0. ( × ) ④若a?b = 0，则a 、b至少有一个为零. ( × ) ⑤ 若a ? 0，a?b = a?c，则b = c. ( × ) ⑥若a?b = a?c，则b = c当且仅当a ? 0时成立. ( × ) ⑦对任意向量a、b、c，有(a?b) ?c ? a? (b?c). ( × ) ⑧对任意向量a，有a2 = |a|2. ( √ ) 思考与交流 思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义， 你能否验证下列向量的数量积是否满足下列运算定律 1.交换律：a?b = b?a 2.数乘结合律：(λa) ?b = λ(a?b) = a? (λ b) 3.分配律：(a + b) ?c = a?c + b?c 一定要熟练掌握并能灵活运用这几个公式哦 例题讲评 例1.已知a，b都是非零向量，且a + 3b与7a ? 5b 垂直， a ? 4b与7a ? 2b垂直，求a，b的夹角。 解：由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 ① (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0 ② 两式相减：2a?b = b2 代入①或②得：a2 = b2 设a、b的夹角为?， 则cos? = a?b／ |a||b| ∴? = 60? 例2.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。 证明：如图，设菱形的两边分别为a ，b C A B D a b ∵ABCD为菱形 ∴|a| = |b| ∴a ?b= (b + a)(b ? a) = b2 ? a2 = |b|2 ? |a|2 = 0 ∴ a ? b 即菱形对角线互相垂直。