一些重要的概率分布.ppt

t分布的性质 ⑴ t分布与正态分布相类似，具有对称性。 ⑵ t分布的均值与标准正态分布均值相同，为0，但方差为k/(n-2)。由此，在求t分布的方差时定义自由度必须大于2。 标准正态分布的方差等于1，因此，t分布方差总大于标准分布的方差，也就是说，t分布比正态分布略“胖”些。 t分布与正态分布： 当k增大时，t分布的方差接近于标准正态分布方差值1。 例如：当k=10时，t分布的方差为10/8=1.25； 当k=30时，t分布的方差为30/28=1.07； 当k=100时，t分布的方差为100/98=1.02； 结论：随着自由度的逐渐增大，t分布近似于正态分布。 注意：对于t分布，不要求其样本容量很大，k=30时，t分布与正态分布已很近似。 t分布表的使用: 0 -1.812 1.812 例：自由度为10，P(t1.812)=P(t-1.812)=0.05 P(︱t︱1.812)=P(t1.812)+P(t-1.812)=0.1 0.05 0.05 t分布表举例： 例：变量X表示面包房每日出售的面包量，在15天内，出售面包的样本方差为16。假定真实的出售量为70条，求任意15天内出售面包平均数量为74条的概率。 分析：本例中已知样本方差S2=16，则S=4，总体均值（真实的出售量）=70，运用t变量公式得： 查t分布表，自由度为(n-1)=15-1=14 当自由度为14时，查表得，t值大于等于2.977的概率为0.005，大于等于4.140的概率为0.0005，所以，t值大于等于3.873的概率介于0.0005~0.005之间。 练习1： 上例中其他条件不变，现假定15天内出售面包的平均数量为72条，求获得此数量的概率。 按照上述步骤，首先运用t变量公式，求出t变量。 查t分布表，当自由度为14时，t值大于等于1.761的概率为0.05，大于等于2.145的概率为0.025，因此，t值取1.936的概率介于0.025与0.05之间。 查t分布表的注意事项： ⑴ 自由度为（n-1），而不是n。 ⑵ t分布表具有对称性，t值大于等于某一特定值的概率与t值小于等于该特定值相反数的概率相等。 §5、 F分布 F分布是如何定义的？ 令随机样本X1，X2，X3，…，Xm来自均值为?x和方差为?x2的正态总体，其样本容量为m；随机样本Y1，Y2，Y3，…，Yn来自均值为?y和方差为?y2的正态总体，其样本容量为n；且这两个样本相互独立。假设知道这两个随机样本的样本方差Sx2和Sy2（两个总体方差的估计量）。 定义一个新的变量F， 分析F值：如果这两个总体方差真实相等，则计算出的F值接近于1，如果两个总体方差真实值不相等，则F值不等于1；两总体方差相差越大，则F值越大。 统计理论表明：如果?x2 =?y2（即两总体方差相等），则F服从分子自由度为k1=(m-1)，分母自由度为k2=(n-1)的F分布。 需要说明一点： 在概率论与数理统计中，更准确的说法是：（ Sx2/ ?x2）/（Sy2/ ?y2）服从F分布，但我们上式给出， ?x2 =?y2，故样本方差之比服从F分布。 F分布又称为方差比分布，通常用符号表示为： 其中的双下标表明了分子与分母的自由度。 在计算F值时，将方差大的值放在上面，故F值总是大于或等于1。 F分布的性质 ⑴ 与?2分布类似，F分布也是斜分布，向右偏，其取值范围也为0到无限大（见下图） 。 0 F f(F) 概率密度 F2,2 F50,50 F10,2 ⑵ 与?2分布类似，当自由度k1，k2逐渐增大时，F分布近似于正态分布。 ⑶ t分布变量的平方服从分子自由度为1，分母自由度为k的F分布，即 ⑷ ?2变量与其自由度之比近似为分母自由度为m，分子自由度很大（无限大）的F变量，即 当n ∞ 对于大容量的样本，我们可以用?2分布来代替F分布；同样，也可用F分布代替?2分布。 性质3也可以改写为： 即若分子自由度充分大，则Fm,n值的m倍，等于自由度为m的?2分布。 例：两个班做同样的计量经济学测试。其中，一班级共有学生100名，二班级共有学生150名。老师从一班级随机抽取25个学生，从二班级随机抽取31个学生，观察得到两个班级学生考试平均分数的样本方差分别为100和132。假设学生考试平均分数这一随机变量服从正态分布，能否认为这两个班级的分数平均值同方差。 分析：这两个随机样本来自两个正态总体，并且相互独立，则首先利用公式计算F值。 F=132/100=1.32 它服从自由度为30、24的F分布。 查F分布表得当分子自由度为3