一对总体分布函数F(x)的假设检验.ppt

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 一、对总体分布函数F(x)的假设检验 二、对随机变量的独立性、相关性的假设检验 例如，1 . 考察某一产品的质量指标打算用正态分布模型 2. 考察一种元件的寿命打算用指数分布模型 3. 一个骰子是否是均匀的？ 假设 H0：X~N(?, ?2) 假设 H0 ：X服从参数为?的指数分布 假设 H0 ：这个骰子是均匀的 这里主要介绍拟合优度检验（卡方检验法）。 H0: F(x)= F0(x)， H1: F(x)≠ F0(x) §8.3 非参数假设检验 卡方检验（K. Pearson，拟合优度检验） 设 X为未知总体，(x1，x2，…，xn)为大样本(n≥50)，欲检验 H0: F(x)= F0(x)， H1: F(x)≠ F0(x) 把实数轴(-∞，+∞)分成k个互不相交的区间： (-∞, a1], (a1, a2], …, (ak-2, ak-1], (ak-1, +?) 记a0=-∞, ak=+?, Ii=(ak-2, ak-1] (i=1,2,…,k-1) , Ik=(ak-1, +?)， ni为样本观测值（X的取值）落在第i个小区间Ii 的个数, pi 为X取值落入第i个小区间Ii的概率，0pi1, i=1,2, …,k, 则 pi= P{ ai-1X ai } = F0(ai)—F0(ai-1)，i=1,2,…,k. 构造统计量： §8.3 非参数假设检验 K. Pearson和R.A.Fisher联合证明了： 定理 不论F0(x)是何分布函数，只要n充分大(n≥50)，当假设H0成立时，上述?2统计量都近似地服从自由度为k-r-1的?2 分布。其中r是F0(x)中未知参数的个数。 称ni为实测频数，vi=npi为理论频数。称这类检验为拟合优度检验。 对于给定的?，查?2分布表得临界值??2(k-r-1)，使 由样本值计算出?2 统计量的值，当 ?2 ﹥??2(k-r-1) 时拒绝H0 ?2 ≤??2(k-r-1) 时接受H0 可见，皮尔逊定理（准则）适用于实测频数与理论频数相比较的问题。 几点注释 ①若分布函数F0(x)的类型未知，可由实际问题分析或由样本观察数据的直方图来推测。 ②若已知F0(x) 分布类型，还有r个参数未知时，须先用极大似然估计法求出未知参数的估计值，然后再作假设。 ③此检验要求一定是大样本，一般n≥50。至于k的大小，对于正态总体，样本容量n与区间个数k要满足渐近最优关系 k=1.87(n-1)0.4 ④ 若理论频数vi=npi＜5时，则将相临的小区间合并，直至全部npi ≥5（合并区间的同时，也将实测频数合并），合并后的小区间数设为k*，则此时?2统计量的由度变为 df = k*-r-1 ⑤手工计算时常采用公式 74 56 30 22 16 12 9 k 10000 2000 1000 500 200 100 50 N =?(-1.22)-?(-1.68)=0.0647. 类似地算得: p3=0.1124, p4=0.1547, p5=0.1813, p6=0.1695, p7=0.1286, p8=0.0793, p9=0.0630. 例1 设从总体X中抽取120个样本观察值，经计算整理得下表，试检验X服从正态分布。（?=0.05） 120 ∑ 6 （219，+∞） 9 8 （216，219] 8 14 （213，216] 7 22 （210，213] 6 23 （207，210] 5 20 （204，207] 4 14 （201，204] 3 7 （198，201] 2 6 （-∞，198] 1 ni 小区间 组号 解 这里只给出了分布类型，有两个待估参数?与?2。 用极大似然法对?与?2作出估计，得到 故提出假设 H0: X ~ N( 209 , 42.77) H1: X不服从 N(209, 42.77) 由 n =120，算得统计量的值 由于 所以接受H0，认为X ~ N(209 ,42.77). ?=0.05, k=9, r=2. 查表得临界值 解 首先，用样本观察值对未知参数?作极大似然估计。以xi表示区间(ti-1, ti)的中点（也称为组中值），则 故提出假设 H0：X服从? =0.2的指数分布. 当H0为