七-7第五节曲面及其方程.ppt

特殊情形 例4. 一平面通过两点 内容小结 * 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 曲面的实例： 一、曲面方程的概念 第五节 曲面及其方程 以下给出几例常见的曲面. 解 根据题意有 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为 解 根据题意有 所求方程为 根据题意有 化简得所求方程 解 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量． 法向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 设平面上的任一点为 必有 一、平面的点法式方程 平面及其方程 平面的点法式方程 平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，故上述方程称为平面的方程． 其中法向量 已知点 解 取 所求平面方程为 化简得 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 由平面的点法式方程 ：平面的一般方程 法向量 二、平面的一般方程 另外，任何三元一次方程都是一个平面。 平面一般方程的几种特殊情况： 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于 坐标面； 类似地可讨论 情形. 类似地可讨论 情形. ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 设平面为 将三点坐标代入得 解 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 （向量平行的充要条件） 解 化简得 令 代入体积式 所求平面方程为 （通常取锐角） 两平面法向量之间的夹角即为两平面的夹角. 三、两平面的夹角 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： // 例6 研究以下各组里两平面的位置关系： 解 两平面相交，夹角 两平面平行 两平面平行但不重合． 两平面平行 两平面重合. 例7： 解： 因此有 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C , 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 解 * * *