第6讲 方程根的证明问题.pdf

第 6 讲 方程根的证明问题 6.1 基本概念、内容、定理、公式 1. 存在性的证法 一般地，证明f (x) 0 有一个根（即有一点ξ ，使f (ξ) 0 ），用连续函数的介值定理或根的存在性 定理；而证明f (n) (x) 0(n 1,2 ) 有根，用罗尔定理比较方便. 1) 连续函数的根的存在性定理 2) 罗尔定理 (1) 若存在函数 ′ H (x) ，使得H (x) F (x) .而H (x) 在[a,b] 上满足罗尔定理的条件，则存在x0 ∈(a,b) ， 使得 ′ H (x 0 ) 0 ，即F (x 0 ) 0 . (2) 若存在两个函数 ′ H (x),ϕ(x) ，使得H (x) F (x)ϕ(x) ，H (x) 在[a,b] 上满足罗尔定理的条件，因而 存在 ′ x0 ∈(a,b) ，使得H (x 0 ) 0 ，即F (x 0 )ϕ(x 0 ) 0 ，而ϕ(x 0 ) ≠0 ，则必有F (x 0 ) 0 . (3) 拉格朗日中值定理和柯西中值定理 (4) 费尔玛定理（极值必要条件）若 ′ ′ F (x) 在x0 ∈(a,b) 取得极值且F (x 0 ) 存在，则F (x 0 ) =0. 因此，若存在函数 ′ H (x) ，使得H (x) F (x) ，而H (x) 在给定区间内取得极值，则一定存在x0 ∈(a,b) ， 使得 ′ H (x 0 ) 0 ，从而F (x ) =0. 0 2. 根的个数的求法 1) 利用单调性：（一般适用于函数表达式是显式表示时）函数 F (x) 在每个单调区间（严格单调）内最多 只能有一个零点. 2) 罗尔定理加反证法：（一般适用于函数表达式是抽象表示时） 3. 类型分析 1） 欲证结论：至少存在一点ξ ∈(a,b) ，使得f (n) (ξ) 0 的命题类型： 此类命题的证法一般有以下三条思路： （1）验证f (n−1) (x) 在[a,b] 上满足罗尔定理条件由该定理即可得命题的证明； （2 ）验证ξ 为f (n) (x) 的最值或极值点，由费尔玛定理即得命题的证明； （3 ）个别命题也可用泰勒公式证明. 2 ） 欲证结论：至少存在一点ξ ∈(a,b) ，使得f (n) (ξ) k(k ≠0) 及其代数式的命题类型： 辅助函数F (x) 的构造是证题的关键，下面介绍辅助函数的几种作法： Ⅰ不定积分求积分常数法 107 （1）将欲证结论中的ξ 化为x ； （2 ）通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式（即易积分形式）； （3 ）利用观察法或不定积分法，方程两边同时积分； （4 ）解出积分常数C F (x) ，则F (x) 即为所求的辅助函数. 以拉格朗日及柯西中值定理为例说明其辅助函数F (x) 的作法. 拉格朗日中值定理的结论： f (b) −f (a) ′ f (ξ) ，将ξ化为x ,有 b −a f (b) −f (a) ′ f (x) ，方程两边同时积分得 b −a f (b) −f (a) f (b) − f (a) x +C f (x) ，解出常数C ，则C f ( x) =− x . b −a b −a f (b) − f (a) 令辅助函数F (x