上海闵行数学暑假补习班高中数学辅导班.ppt

共 54 页 自 学 导 引 (学生用书P84) 通过本节的学习掌握直线和平面所成的角的概念,二面角的有关概念,并能求直线与直线所成的角,直线与平面所成的角及二面角的大小.了解空间距离的有关概念及简单运算. 课 前 热 身 (学生用书P84) 1.空间角 (1)两条异面直线所成的角的范围是________,其大小可以通过这两条异面直线的________的夹角来求.若设两条异面直线所成的角为θ,它们的方向向量的夹角为φ,则有________. (2)直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的射影所成的角,其范围是________,直线和平面所成的角为θ,直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ,则有________. (3)二面角的大小就是指二面角的平面角的大小,其范围是________,二面角的平面角的大小(或其补角的大小)可以通过两个平面的法向量的________求得. 2.空间距离 (1)空间中两点间的距离公式:若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,y2),则|P1P2|=________. (2)点面距离的求法: 如图,设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条斜线,则点 B到平面α的距离d=________. 名 师 讲 解 (学生用书P84) 1.空间角公式 (1)异面直线所成角公式: 设a,b分别是异面直线l1、l2上的方向向量,θ为异面直线所成的角,则有cosθ=|cosa,b|= (2)线面角公式:设l为平面α的斜线,a为l的方向向量,n为平面α的法向量,θ为l与α成的角,则有sinθ=|cosa,n|= (3)二面角公式:设n1,n2分别为平面α、β的法向量.二面角为θ,则θ=n1,n2或θ=π-n1,n2(根据具体情况判断相等或互补). 其中cosθ 2.空间距离 (1)点面距离公式:P为平面α 外一点,过点P的斜线交α于A,设n为平面α的法向量,d为P到α的距离,则有 (2)线面距离、面面距离都可以转化为点面距离. 典 例 剖 析 (学生用书P84) 题型一 直线与平面所成的角 例1:正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 求AC1与侧面ABB1A1所成的角. 分析:建立适当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,利用AC1与其在面ABB1A1内的射影所成的角来求或利用面ABB1A1的法向量来求. 规律技巧:充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,再用向量有关知识求解线面角.方法2给出了一般的方法,先求平面法向量与斜线夹角,再进行转化. 变式训练1:如图所示,ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=?. 求:SC与平面ABCD所成角的正弦值. 题型二 二面角的求法 例2:在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=?,求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值. 分析:可建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,通过法向量的夹角进行求解. 变式训练2:正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是A1D1、A1C1的中点.求: (1)异面直线AE与CF所成角的余弦值; (2)二面角C-AE-F的余弦值的大小. 题型三 空间距离问题 例3:如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点. (1)求异面直线AB与MD所成角的大小; (2)求点B到平面OCD的距离. 分析:解答本题可先利用图形条件建立坐标系,再利用 所成角求异面直线所成角,利用公式求点面距. 解:作AP⊥CD于点P.如图所示,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 则A(0,0,0),B(1,0,0), 变式训练3:已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,CG垂直于ABCD所在的平面,且CG=2,求点B到平面EFG的距离. 技 能 演 练 (学生用书P86) 基础强化 3.平面α与平面β交于l,自一点P分别向两个面引垂线,垂足分别为A、B,则∠APB与α、β夹角的大小关系是( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不能确定 解析:当点P在平面α、β夹角的内部时,∠APB与平面α、β夹角互补;当点P在平面α、β夹角的外部时,∠APB与平面α、β的夹角相等. 答案:C 6.△ABC的边BC在平面α内,顶点A?α,△ABC边BC上的高与平面α所夹的角为θ,△ABC的面积为S,则△ABC在平面α上的投影图形面积为________. 答案:Scosθ 解析:△ABC在平面α内的投影三角形为A′BC,它的高A′D=ADcos