上海高考补习班上海高考辅导班新王牌.ppt

第十二节 (一) 导数的应用 [主干知识梳理] 一、函数的单调性 　 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为 ． f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为 ． 二、函数的极值 1．函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 三、函数的最值 1．在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值． [基础自测自评] 1．(教材习题改编)若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于 (　　) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 D　[∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0， ∴a＝5.] 2．(2013·浙江高考)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 (　　) B　[由导函数图象知，函数f(x)在[－1，1]上为增函数． 当x∈(－1，0)时f′(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x∈(0，1)时f′(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B.] 3．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则 (　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 D　[求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0， 解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．] 5．已知a0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________． 解析　f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， 则f′(1)≥0?a≤3. 答案　3 [关键要点点拨] 1．f′(x)0与f(x)为增函数的关系：f′(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件． 2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点． 3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较． [规律方法] 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根； (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； (4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性． [跟踪训练] 1．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)若函数f(x)在R上单调递减， 则f′(x)≤0对x∈R都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都