稿数学传播傅立叶傅立叶己把承刘晋曲述遍影.PDF

傅立葉變換 單維彰 這是我計畫要投稿給數學傳播 的傅立葉 議。 所以, 我們必須在比較短的時間內, 為這 三部 曲之第二部。 第一部傅立葉級數 已經在 門課準備 自己的數學基礎。 而第一部曲 [1] 就 1998 年刊出 [1], 此後我就把這個計畫擱置 是我所設計的三小時傅立葉級數課程, 現在 了。 直到 2000 年春, 承蒙劉晉良教授的厚愛 這第二部曲是接著的三小時傅立葉變換課程。 與敦促, 終於將相關的講義集結於此。 這篇報 不同的是, 在前一部中所提的定理 , 大多可以 告的背景與 目的, 和前一部 [1] 相同。 但為了 用基本的微積分來證明, 所以就附上了證明。 完整性, 在此重述一遍。 但是此處所提的某些定理 , 已經不再基本, 所 以就只有 「說明」 而沒有 「證明」。 一. 前言 此間的內容雖然簡單而且標準, 卻不為 一般的數學基礎課程所函蓋。 所以, 想藉著數 由於數位化 的聲音與影像 日益成為最 學傳播的園地, 將這一小段經過整理的教材 主要的資料形 態, 因此對於數 位訊號處理 與同仁分享, 尚祈各方先進不吝指教。 (DSP: Digital Signal Processing) 的知識 與技術之需求, 也就 日益增加。 我認為訊號處 二. 定義 理這門課題應該會成為應用數學的一支重要 方向, 所以希望這一代的學生能夠及早接觸 傅立葉級數只處理了 2π 週期函數: 2π 這個領域。 於是, 我從八十四年起, 在中央大 週期函數可以被整數頻率的正弦餘弦波所合 學開始了一門課程: 計算富氏分析。 這門課設 成。 那麼對於週期比 2π 大的週期函數呢? 對 計給大學三、 四年級選修, 預備知識就是微積 於非週期性的函數呢? 傅立葉級數就要被推 分和線性代數。 廣為傅立葉變換。 傅立葉變換和傅立葉級數 為了有足夠的時間處理應用課題, 我們 一樣, 可以被理解成一個從時間域 (time do- 必須精簡地介紹數學基礎理論。 何況大部分 main) 轉換到頻率域 (frequency domain) 學生並不具備完整的數學背景。 我們雖鼓勵 的運算。 學生同時選修實變函數論或富氏分析, 以收 回顧傅立葉級數的定義 [1, (2)–(3)]: 相輔相成之效, 但是很少學生接受這樣的建 若 f : R → C 是 2π 週期函數、 且 22 傅立葉變換 23 π 2 其中 −π |f (x)| dx 可積, 稱之為平方可積的 2π 2 nπ k 週期函數,