用导数法解决切线问题小议剖析.doc

用导数法解决切线问题小议 湖北枣阳一中 刘安锋 导数是新教材中新增的内容，运用导数解曲线的切线问题也就变成了命题者手中的法宝，本文将针对这类问题的三个注意点进行讨论。 一、曲线与切线的交点唯一且恰好为切点 函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线斜率，很显然点的坐标既满足切线方程又满足曲线。 例1、已知曲线，问曲线上哪一点处切线与直线垂直。并写出在这一点处的切线方程。 解析：，令，解得，代入得。 则曲线在点(4、5)处的切线与直线y=-2x+3垂直。 故切线方程为即。 二、曲线与切线的交点不唯一 注意过点的切线与在处的切线的差异性，因为过点的切线中，点不一定 是切点，而在点p处的切线中，点p一定是切点。 例2、已知曲线，求过点(2、4)的切线方程。 分析：虽然点(2、4)在曲线上，但是曲线上点(2、4) 处的切线是有区别的：过点(2、4)的切线中，点(2、4)不一定是切点，而在点(2、4)处的切线中，点(2、4)一定是切点。 解析：设曲线与过点(2、4)的切线相切于点，则 ，切线方程为。 由点(2、4)在切线上得：，解得=2或-1。 故所求的切线方程为或。 三、注意解两曲线的公切线问题时思维的严谨性 解两曲线的公切线问题时，若思维不严谨，则极易出错，且解答这类问题要具有一定的方法和技巧。 例3 求曲线：与曲线：的公切线的斜率。 解：当公切线切两条曲线于同一点时，则。 当公切线切两条曲线于不同点时，设切于点，切于点，其中，则。 故公切线的斜率为0或。 四、弦的斜率与导数的关系 对于任意在某一区间上可导的函数，其图像上任两点的直线可通过平移与曲线上过某点的直线重合，知道这一几何意义在解题时可将问题简化。 例4 已知，若函数图像上任意两个不同点连线的斜率 恒小于1，求证： 证明：函数图像上任意两点连线的斜率范围等价于函数图像上过任意一点的 切线斜率范围。 ∴恒成立即恒成立。 故△×即得证。