飞机观测数据修正模型.ppt

优化建模 飞机观测数据修正模型 例飞机在飞行过程中，能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的信息，根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如图所示，VOR是高频多向导航设备的英文缩写，它能够得到飞机与该设备连线的角度信息；DME是距离测量装置的英文缩写，它能够得到飞机与该设备的距离信息。图中飞机接收到来自3个VOR给出的角度和1个DME给出的距离(括号内是测量误差限)，并已知这4种设备的x，y坐标(假设飞机和这些设备在同一平面上)。如何根据这些信息精确地确定当前飞机的位置？ 0 y x VOR2 x=629, y=375 309.00 (1.30) 864.3(2.0) 飞机 x=?, y=? VOR1 x=764, y=1393 161.20 (0.80) VOR3 x=1571, y=259 45.10 (0.60) 北 DME x=155, y=987 图 飞机与监控台 问题分析 记4种设备VOR1、VOR2、VOR3、DME的坐标为(xi, yi)(以km为单位)，i=1, 2, 3, 4；VOR1、VOR2、VOR3测量得到的角度为?i (从图中可以看出，按照航空飞行管理的惯例，该角度是从北开始，沿顺时针方向的角度，取值在00~3600之间)，角度的误差限为?i，i=1, 2, 3；DME测量得到的距离为d4 (km)，距离的误差限为?4。设飞机当前位置的坐标为(x, y)，则问题就是由下表的已知数据计算(x, y)。 xi yi 原始的?i (或d4) ?i VOR1 746 1393 161.20(2.81347弧度) 0.80(0.0140弧度) VOR2 629 375 45.10(0.78714弧度) 0.60(0.0105弧度) VOR3 1571 259 309.00(5.39307弧度) 1.30(0.0227弧度) DME 155 987 864.3 (km) 2.0 (km) 模型1及求解 图中角度?i是点(xi, yi)和点(x, y)的连线与y 轴的夹角(以y 轴正向为基准，顺时针方向夹角为正，而不考虑逆时针方向的夹角)，于是角度?i的正切 i=1, 2, 3, 对DME测量得到的距离，显然有 直接利用上面得到的4个等式确定飞机的坐标x, y，这时是一个求解超定(非线性)方程组的问题，在最小二乘准则下使计算值与测量值的误差平方和最小(越接近0越好)。 这是一个非线性(无约束)最小二乘拟合问题。 则需要求解 MODEL: SETS: VOR/1..3/: x, y, cita, sigma; ENDSETS DATA: x, y, cita, sigma = 746 1393 2.81347 0.0140 629 375 0.78714 0.0105 1571 259 5.39307 0.0227; x4 y4 d4 sigma4 = 155 987 864.3 2.0; ENDDATA ! XX,YY表示飞机坐标; min = @sum(VOR: @sqr((xx-x)/(yy-y) - @tan(cita)) ) + @sqr(d4 - @sqrt(@sqr(xx-x4)+@sqr(yy-y4)) ); END 很容易写出其LINGO程序如下： 求解该模型得到的解为(只列出部分结果)： Local optimal solution found. Objective value: 128.0226 Variable Value Reduced Cost XX 243.4204 0.1315903E-08 YY 126.3734 0.000000 显然，这个解的目标函数值很大(128.0226), 因此我们怀疑是一个局部最小点。用“LINGO|OPTIONS”菜单命令启动“Global Solver”选项卡上的“Use Global Solver”选项，然后求解，可以得到全局最优解如下： Global optimal solution found. Objective value: 0.7050440E-03