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第3-4分部积分
分部积分法
由导数公式 ′ ′ ′
uv u v( u)v +
积分得: ′ ′
uv u v x uv dx ∫ d +∫
uv x uv u v ∫x ′d − ∫ ′ d
分部积分公式
或
u v uv v ∫ud − ∫ d
选取 u 及v′(或dv)的原则:
1) v 容易求得 ;
2) udv x udv ∫x ′ 比∫ ′ 容易计算 。
′
u
⎛ ⎞ ′ ′
u v v u − u
∫⎜ ⎟dx ∫ 2 dx +C
v
⎝ ⎠ v v
例1. 求 ∫x cos x dx . ⇒ P x ⋅cos x dx
′ ∫ n ( )
v x
解: 令 u x ,cos ,
则 u′ 1,
v x sin
x x sin sin− dx x
∴ 原式 ∫
xx sinsin xx ++coscos xx ++CC
2
x sinx dx ?
思考: 如何求 ∫
提示: 令 2 ′ 则
u x , sinv , x
22
x −−x cos
x x cos
原式 2 cosx +dx∫x
+2 ( )
x lnx dx .
例2. 求 ∫
′ 1 1 2
u ,
u xln , v x′ 则
解: 令 v x
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