基本初等函数的图象与性质.ppt

第二讲　基本初等函数的图象与性质;1.求函数的定义域主要考虑以下几点：分母不能为0；偶次根号下的式子不小于0；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；a0中a不等于0；注意实际问题中变量的范围等． ;2.函数的单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等． 判断函数的单调性的主要方法(研究函数的单调性应结合函数的单调区间，单调区间应是定义域的子集)： (1)定义法，即作差法(主要步骤为：取值——作差——变形——判符号——下结论)；(2)图象法；(3)单调性的运算性质(实质上是不等式的性质)；(4)复合函数的单调性判断法则；(5)导数法．;3．判断一个函数的奇偶性时，要注意函数的定义域是否关于原点对称．若定义域关于原点不对称，那么该函数一定不具有奇偶性．若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0，灵活使用这一结论可以简化运算过程．若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(|x|)，利用这个性质，可以避免一些分类讨论，有利于灵活利用函数的单调性．;4．解决与分段函数有关的问题，最重要的就是掌握逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段函数性质(奇偶性、单调性等)的一般方法；解决与抽象函数有关的问题时，最重要的是掌握赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法．;5．函数的周期性的定义及常用结论 一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值， 若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期； 若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，|b－a|是它的一个周期； 若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期；;;;7．对称性与周期性之间的关系 周期性与对称性是相互联系、紧密相关的．一般地， 若f(x)的图象有两条对称轴x＝a和x＝b(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b－a|是它的一个周期； 若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，则f(x)必为周期函数，且2|b－a|是它的一个周期；;;A．m＝1，n＝1　　　　　　B．m＝1，n＝2 C．m＝2，n＝1 D．m＝3，n＝1 [解析]　　由于本题是选择题，可以用代入法来做，由图得，原函数的极大值点小于0.5. ;;;[答案]　B;;解析：若α0，则f(α)＝α2＝4，α＝2. 若α≤0，则f(α)＝－α＝4，α＝－4. 答案：B;[答案]　1;变式练习：;考点三：函数的奇偶性;;考点四:函数的周期性;;;;解析：令x＝y＝0?f(0)＝0， 令x＝y＝1?f(2)＝2f(1)＋2＝6， 令x＝2，y＝1?f(3)＝f(2)＋f(1)＋4＝12， 再令x＝3，y＝－3?f(0)＝f(3－3)＝f(3)＋f(－3)－18＝0?f(－3)＝18－f(3)＝6. 答案：6;;解析：2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有x0且x－80且x(x－8)≤9，解得8x≤9.故选B. 答案：B;　怎样利用周期法解题 有些数学问题，表面上看与周期毫无关系，但实际上隐含着周期性，一旦提示了周期，问题便迎刃而解．下面举例说明如下．;【例1】　设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于(　　) A．0.5 B ．－0.5 C．1.5 D．－1.5;[解析]　∵f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是以4为一个周期的函数．由于f(x)是奇函数，且0≤x≤1时，f(x)＝x， 可得f(7.5)＝f(2×4－0.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，故选B. [答案]　B;;;答案：D;2．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：由已知：f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝－f(－1)． 而f(－1)＝2·(－1)2－(－1)＝3， ∴f(1)＝－3. 答案：A;;答案：A;;;;;答案：B;B;B