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基础物理中的数学方法 第一章 初等函数的极限和微分 §1.1 初等函数 数理难以分家，是一棵苗上的两瓣叶片。 数学课不仅仅是工具课，是科学思维训练。 学习物理需要数学工具，此处只解决工具问题。 王竹溪、彭桓武、林家翘的榜样。。。 1.1.1 函数的概念 在物理过程中，一些物理量之间有由物理规律决定的关系---函数。 例如：自由落体 高度随时间的变化 自变量t，因变量h 时间随高度的变化 自变量h，因变量t 多个自变量的函数叫做多元函数，例 一元函数 自变量为实数的函数叫实变函数；为复数的函数叫复变函数。 1.1.2 常用的初等函数 （1）幂函数 （a，n为常数） n 可为正、负、整、分数； 一般形式是多项式，上式只给出其中一项的函数式， 幂函数的一种特殊形式是n=0的情况，即 （常数） 例如：交流电的电压为 在x轴上以原点为中心的简谐振动为 （2）三角函数和反三角函数 （3）以e为底的指数函数和对数函数 ， 这些函数，以及其经过有限次四则运算与复合步骤所构成的函数，统称为初等函数。 1.1.3 欧拉恒等式 借助复数来简化运算过程 ， （常数） 复数z可以用两个实数a和b来表示 z的共轭复数记作z* 在平面直角坐标系中，又可表示为 ：复数的模 ：辐角 Z与z*的模相等，辐角的符号相反。 是模为1的复数。高等数学可以证明 这就是欧拉恒等式。由上两式解得 欧拉恒等式的另一种表示式。 欧拉恒等式把指数函数和三角函数联系起来，使三角函数的运算简化。 解 对 两边同时作立方运算得 将上式的指数函数用三角函数表示，并展开两边得 根据复数的运算规则，两复数相等必是实部和虚部分别相等， 故有 例2 三角函数 试变换为三角函数和差的形式。 再将上式右边的指数用三角函数表示得 解 将三角函数用指数表示得 例1 导出正弦和余弦函数的三倍角公式。 欧拉公式实质是揭示三角函数和指数函数的关系，也说明两种函数有相同的运算规则。由此想到，可依照欧拉公式定义一套广义的三角函数，叫做双曲函数。双曲正弦和双曲余弦函数的定义是 此式与三角函数的基本公式 实际上，若以 jx 代替定义式中的 x 即得 1.1.4 双曲函数 由双曲函数的定义式知 相似， 还可以证明 三角函数，也可视为双曲函数的特例 §1.2 极限 1.2.1 直观的极限概念和无穷小量 极限是重要的基本概念。由简单物理过程，得到某些直观印象。 考虑一个交流电路和波动中常用的函数 在x=0时，分子和分母都是零，这分式没有直观意义了。但可以研究 x由正值和负值向零无限趋近时，函数的特点。 作一半径为1的单位圆（图1.2.1）， x是圆心角， ， 因 所以 因在 附近， 的符号相同， 得 或 将上述不等式除以 上式说明 y 在 x 趋于 0 的过程中保持不大于 1,但又不小于 cosx 但在x无限趋于零时，cosx无限趋近于1，故y必趋于1， 记为 在 x 趋近于零时 sinx 随之趋于零。在这种情况下x 和 sinx 是绝对值很小的变量，因而上面给出的分式也是有意义的。 这类变量的特点是：它的绝对值小于任何给定的正数，叫做无穷小量. 在自变量 x 与某一指定值 a 的差为无穷小量时，函数f(x)与数 A 的差也为无穷小量，则A是在x趋于a时的极限，记为 无穷小量就是以0为极限的变量 无穷小量的两个性质： （1）有限个无穷小量的和是无穷小量； （2）有界量与无穷小量的积是无穷小量。 有些初等函数求极限的运算，可依据对函数的理解和直观判断得到。例如 1.2.2 极限的运算规则 一些较复杂情况，还须依据规则进行运算。常用的运算规则是： ， 一个有极限的函数与常数积的极限，等于该函数的极限与常数之积。 如若a为常数，则 有限个有极限的函数的积（商）的极限， 等于它们极限的积（商）。 例1 求 解 由和差化积公式得 变为求两个极限的积。在上式中，第一个函数的极限已给出， 故有 有限个有极限的函数的和（差）的极限等于它们极限的和（差）。 例2 求 解: 利用二项式公式得 例3 求 解： 在上面的两例中x也是一个独立的变量。但在求极限的过程中，只是 作趋于零的变化。因此，在作这种运算时， x是视为不变的。 以上例题，都求两个无穷小量的比值的极限。这种极限可以理解为两个无穷小量大小的比。如果两个无穷小量之比是不为0的有界量，则这两个无穷小量是同阶的无穷小量。 sinx与x是同阶无穷小量。且因这两个无穷小量的 1.2.3 无穷小量的比较 例如在 比值的极限是1，可理解为在x趋于零时sinx与x趋于相等。 在例2中，涉及三个