基础解及基础可行解.ppt

sdadsd 第三讲 （上） 基础解及基础可行解 （1） 一、基础解定义 令X 满足，AX=b，若X ≠0，则X 必有非零分量x?，x? ，…， 于是必存的方程式： (1) 其中a?，a?，…为与x?，x? ，…对应的A阵列矢量，如果列矢 量a?，a?，…之间线性独立，则称X为基础解。 基础解及基础可行解 （2） 基础解及基础可行解 （3） 基础解及基础可行解 （4） 基础解及基础可行解 （5） 基础解及基础可行解 （6） 第三讲（下） 单纯形概念 §1 基本假设：非退化阵 §2 单纯形算法 §1 基本假设：非退化阵（1） §1 基本假设：非退化阵（2） §1 基本假设：非退化阵（3） §1 基本假设：非退化阵（4） §2 单纯形算法（1） §2 单纯形算法（2） §2 单纯形算法（3） §2 单纯形算法（4） §2 单纯形算法（5） §2 单纯形算法（6） §2 单纯形算法（7） §2 单纯形算法（8） §2 单纯形算法（9） §2 单纯形算法（10） §2 单纯形算法（11） §2 单纯形算法（12） 由此看出，当平衡解YT不能使所有j满足 时，就 说明该解的费用仍可减少，故不是最优解，并且从前面推导 中看出，可以求得一个新解使其费用减少，其新费用减少值 为?（zs－cs）。想使费用尽量小，则必须使?尽量大且保持解 可行，即使： (19) 对于(19)式之求解，可出现2种情况： (i) 在(19)式中若所有tj≤0,则?可取无限大值仍为可行解， 故目标函数可无穷小，即不存在最优解或无界。 §2 单纯形算法（13） (ii) 至少有一个tj0，则可选取?为下面有限值： (20) 该?*是此次获得最小目标值的可行解。 设?*是在j=p中达到，即?*=xp/tp，则在（15）式中ap的系数变 为0，在非退化假设下，这是唯一一个变为0的系数，选定?* 后，式（15）即可变为： (21) §2 单纯形算法（14） 非退化定理意味着，这个方程组定义了一个新的基础解： B’={s}+B?{p} (22) 即，B中增加s，且去掉P。 于是，（21）式可重写为： (23) 新系数是m个正数： §2 单纯形算法（15） 非退化假设意味着，所有m个系数x’j为正，且m个列矢量aj线 性无关（j?B），因此，对于(ii)状态，可计算出一个新的 基础可行解X’，且费用降低为?*（zs－cs）。然后以新解X’作 为旧解，重复上述阶段2步骤，最后结果必在有限步内完成。 因为进行中只有下述几种可能： ① 出现情况1)，即有对偶解，则说明获得最优解，停止。 ② 出现情况2)中的(i)，不存在最优解，则停止。 ③ 出现情况2)中的(ii)，可求出新解X’以代替旧解X，并 重复阶段2步骤。 §2 单纯形算法（16） 这个循环步骤是有限的，因为矩阵A的秩和m列子集数目有限 （即AX=b）具有有限数目的基础解）。 设用上述方法获得一系列基础解为X1，X2，…，则其费用必 递减为CTX1 CTX2…，由于X1, X2,…，不同，故迭代次数有 限，由于非退化假设，死循环亦是不可能的.实际上，即使对 于退化问题，死循环也很少出现。 Operations Research Prof. Wang School of Economics Management page * * 第四讲 线性独立的定义（或判断准则）为：若方程 中的矢量系数??，?? ，…必须全为零才能使方程满足，则称 矢量a?，a?，…之间线性独立。 即，任何一个矢量都不能由其它矢量的线性组合所构成的一 组矢量必线性独立。 例如： 中， ， ， 则知a1，a2，a3之间线性相关（即线性不独立），因为任何一 个矢量都可由其它两个矢量所组成。但是这三个矢量中，两