堇菜空间向量及其运算.ppt

=a+b+c. =（a+b+c）2 =a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c =1+1+22-2-2=2. （2）解 ∵ =a+b+c， =b-c， =（a+b+c）·（b-c） =a·b-a·c+b2-b·c+b·c-c2 =1+12-22=-2. 又 =（b-c）2=b2+c2-2b·c=1+4+2=7. ∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为 （3）证明 b-a， =c·（b-a） =c·b-c·a=-1-（-1）=0. 题型四 空间向量坐标及坐标运算 设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b, 3a-2b,a·b以及a与b所成角的余弦值,并确定λ, μ应满足的条件，使λa+μb与z轴垂直. 代入向量坐标运算的公式求2a+3b,3a- 2b，a·b，利用数量积求a与b的夹角余弦值,利 用（λa+μb）·（0，0，1）=0，确定λ,μ的 关系. 解 2a+3b=2×（3，5，-4）+3×（2，1，8） =（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）. 3a-2b=3×（3，5，-4）-2×（2，1，8） =（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）. a·b=（3，5，-4）·（2，1，8） =6+5-32=-21. （λa+μb）·（0，0，1） =（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ）·（0，0，1） =-4λ+8μ=0，即λ=2μ， ∴当λ，μ满足λ=2μ时，可使λa+μb与z轴垂直. 空间向量的坐标运算，关键是要注意 向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算 公式. 知能迁移4 已知△ABC的顶点A（1，1，1）， B（2，2，2），C（3，2，4），试求 （1）△ABC的重心坐标；（2）△ABC的面积； （3）△ABC的AB边上的高. 解 （1）设重心坐标为（x0,y0,z0）, 方法与技巧 1.熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是 解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定 理、共面向量定理、空间向量基本定理、数量 积的性质等. 2.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或 角度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量, 然后通过向量的运算或证明去解决问题,在这里, 恰当地选取基底可使向量运算简捷,或者是建立 空间直角坐标系,使立体几何问题成为代数问 题，在这里,熟练准确地写出空间中任一点的坐 标是解决问题的基础. 思想方法 感悟提高 失误与防范 1.利用坐标运算解决立体几何问题,降低了推理难 度,可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的 代数运算也容易导致出错.因此，在解决问题时， 可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套. 2.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一 般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的 长度，一般用向量的模来解决；求异面直线所成 的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意 两种角的范围不同，最后应进行转化；解决垂直 问题一般可转化为向量的数量积为零. 3.空间向量的加法、减法经常逆用,来进行向量的分解. 4.几何体中向量问题的解决，选好基底是关键. * * §8.6 空间向量及其运算 要点梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有 和 的量 叫做空间向量. (2)相等向量：方向 且模 的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在直 线互相 于同一平面的向量. (4)共面向量： 的向量. 大小 方向 相同 相等 平行 平行或重合 基础知识 自主学习 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 （1）共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条 件是 . 推论 如图所示，点P在l上的充要条 件是： ① 其中a叫直线l的方向向量，t∈R, 在l上取 ,则①可化为 存在实数λ，使得a=λb （2）共面向量定理的向量表达式： p= ，其中x,y∈R,a,b为不共线向量，推论的 表达式为 或对空间任意一点O有, 其中x+y+z=1. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向 量p,存在有序实