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塑性力学 第1章 应力分析 应力状态 三维应力状态分析 三维应力状态的主应力 最大剪应力 等倾面上的正应力和剪应力 应力罗德参数与应力罗德角 应力张量的分解 平衡微分方程 1－1 应力状态 斜截面上的应力 平面应力状态 主应力与应力主向 最大剪应力 摩尔应力圆 1－2 三维应力状态 四面体受力图 在某点处取出一无限小四面体。它的三个面分别与x、y、z三个轴相垂直。另一面即为任意倾斜面，其法线为v，其方向余弦为l、m、n。 利用力的平衡条件，可得任意斜截面上的应力pv 作用于任一斜截面上的应力向量分量可以用作用在与坐标轴垂直的三个面上的应力向量分量来表示。 上式可作为力的边界条件的表达式。 1－3 三维应力状态的主应力 在过任一点所作任意方向的单元面积上都有正应力和剪应力。如果在某一方向剪应力为零，则此方向即称为主方向（应力主向），而这时在该面上的正应力便称为主应力。 如果v方向为主应力平面的方向，则有pvx = ?x l，pvy ＝?y m，pvz = ?z n，则得 几何关系 l,m,n不能同时为零，因此前式为包括三个未知量l,m,n的线性齐次方程。若有非零解，则此方程组的系数行列式应当等于零，即 展开行列式得到 其中 I1、I2、I3不随坐标方向不同而变，称为应力张量不变量，分别称为应力张量第一（一次）不变量、第二（二次）不变量与第三（三次）不变量。 解一元三次方程，得三个主应力?1, ?2, ?3。 I1、I2、I3可用主应力表示如下： 求解主应力时，先求出各应力张量不变量，再解一元三次方程。 【例】已知一点的应力状态由如下应力分量确定，即 试求主应力的值。 【解】求各应力张量不变量，I1 = 3，I2= -6，I3 = -8，代入一元三次方程得 解得 斜截面上的正应力和剪应力 设斜截面上的正应力为?v , 则由投影可得 若三个坐标轴的方向为主方向，且主应力大小顺序按x, y, z排列，则 总应力为 斜截面上的剪应力为 三维应力圆 1－4 最大剪应力 主应力平面上的剪应力为零；最大剪应力位于坐标轴分角面上，而三个最大剪应力分别等于三个主应力两两之差的一半。 在主应力坐标系中（1, 2, 3分别代表?1, ?2, ?3）主应力与最大剪应力作用面及其方向余弦 1-5 等倾面上的正应力和剪应力 等倾面就是和三个主应力轴成相同角度（54?44）的面，等倾面的法线方向也与三个主应力轴成相同的角度。法线v为空间对角线，也称为等倾线。等倾面法线的方向余弦l, m, n可由下式确定 则等倾面上的正应力和剪应力 主应力空间：以三个主应力为轴而组成的笛卡儿坐标系 若将?1, ?2, ?3轴在等倾面上投影，则在等倾面上可以得到互相成120?角的三个坐标轴。 等倾面及其上应力 等倾面上一点的应力状态 向量 在等倾线上的投影 ?0 向量 在等倾面上的投影 ?0 ?0与轴?1在等倾面上的投影之间的夹角?? ??称为应力状态的特征角，cos??为应力形式指数。 偏平面 如果等倾面上的正应力?0= 0，？？ 如果?0= 0，等倾面过原点，则此等倾面称为?平面。?平面上没有正应力，只有剪应力，只有应力偏张量，所以?平面又叫偏平面。 应力强度 或广义剪应力 应力偏量分量、主应力用应力强度、平均应力与应力状态状态角表示 应力偏量 主应力 s1+s2+s3 = 0 ?1+?2+?3 = 3?0 应力星圆 应力星圆是以距原点O为?0的一点为圆心，以2?i / 3为半径所画的圆。由圆心O?点开始作与轴O?成?? 角的直线，则此直线与圆的交点在O? 轴上的投影即为?1。由O?A线顺时针旋转120?作一直线，此直线与圆的交点在? 轴上的投影即为?2。而由O?A线顺时针旋转240?所作的直线与圆的交点在? 轴上的投影即为?3。 应力星圆 应力状态与应力星圆 【例】已知应力状态为：?1=150MPa, ?2=50MPa, ?3= -50MPa，试画出应力星圆。 【解】 ?0 = (150+50-50)/3 = 50MPa 故，?? = 30?。 应力星圆 最大剪应力用?i 和??表示 应力星圆 剪应力?2的绝对值最大。 1-6 应力罗德参数与应力罗德角 在? 平面上建立直角坐标系Oxy，取y轴方向与?2轴在? 平面上投影2? 一致。 矢量Op在坐标轴1?上的投影长度为O?p1? = ?1，在2?上的投影长度为