复习：二维随机变量函数的分布.ppt

随机变量函数的分布 小结 第三章　多维随机变量及其分布习 题 课 一、重点与难点 二、主要内容 二维随机变量 二维随机变量的分布函数 二维离散型随机变量的分布律 二维连续型随机变量的概率密度 边缘分布函数 离散型随机变量的边缘分布 连续型随机变量的边缘分布 随机变量的条件分布 随机变量的相互独立性 二维随机变量的推广 随机变量函数的分布 三、典型例题 备用题例 8-1 例9-1 若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布. 为随机变量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数. 随机变量关于X 和 Y 的边缘分布函数分别为 联合分布 边缘分布 同理得 Y 的边缘概率密度 (1) 离散型随机变量的条件分布 同理可定义 (2) 连续型随机变量的条件分布 联合分布、边缘分布、条件分布的关系 联合分布 边缘分布 条件分布 联合分布 说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 其它依次类推. (5) 随机变量相互独立的定义的推广 (1)离散型随机变量函数的分布 当 X, Y 独立时, (2)连续型随机变量函数的分布 则有 推广 例1 解 例2 解 一般来说，若Xi(i=1, 2, …，n)是n个相互独立的服从 N(?i ，σi2) 分布的随机变量，则 仍然 是一个服从正态分布N(? ,σ2)的随机变量，且其参数为 这个事实，也称正态分布具有可加性。 例5 设随机变量X与Y相互独立，且都服从 (-a，a) (a0)上的均匀分布。试求它们的和Z=X+Y的概率密度。 解 X与Y的概率密度分别为 显然仅当 上述积分不等于零 。 因此，当0≤z2a时， 当-2az0时， a z=x+a z=x-a -a a -a z x 2a -2a o fZ(z) z -2a 2a o 所得到的分布称做辛卜生(Simpson)分布或称做三角分布，其概率密度曲线如图。 则有 2、M=max(X，Y)及N=min(X，Y)的分布 故有 推广 例6 解 例7 设X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从(0，1)上的均匀分布，试求U=max(X1，X2，…，Xn )及 V=min( X1，X2，…，Xn )的密度函数。 解 因为相应于（0，1）上均匀分布的分布函数为 因此U的分布函数为 故U的概率密度为 而V的分布函数为 故V的概率密度为 1. 离散型随机变量函数的分布律 2. 连续型随机变量函数的分布 一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题 1.重点 二维随机变量的分布 有关概率的计算和随机变量的独立性 2.难点 条件概率分布 随机变量函数的分布 定 义 联 合 分 布 函 数 联 合 分 布 律 联 合 概 率 密 度 边 缘 分 布 条 件 分 布 两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布 随 机 变 量 的 相 互 独 立 性 定 义 性 质 二 维 随 机 变 量 推 广 (1) 定义 且有 (2) 性质 (3) n 维随机变量的概念 二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为: 离散型随机变量 ( X,Y ) 的分布函数为 (1) 定义 (2) 性质 表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1. (3) 说明 (4) 两个常用的分布 　　设 D 是平面上的有界区域, 其面积为 A , 若二 维随机变量 ( X, Y ) 具有概率密度 则称( X,Y )在D上服从均匀分布. 下 回 停 复习 例1 设(X,Y)的概率密度是 求 (1) c的值； （2）两个边缘密度。 =5c/24=1, c =24/5 解：(1) 由 确定C 例1 设(X,Y)的概率密度是 解: (2) 求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 . 注意积分限 注意取值范围 x y 0 1 y=x 例1 设(X,Y)的概率密度是 解: (2) 求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 . 注意积分限 注意取值范围 x y 0 1 y=x 即 若(X,Y)的概率密度为 问X和Y是否独立？ 解： 0x1 0y1 由于存在面积不为0的区域， 故X和Y不独立 . 　　为了解决类似的问题下面 我们讨论多维随机变量函数的分布. 问题 一、二维离散型随机变量的函数的分布 设(X，Y)是二维离散型随机变量，则 Z=X+Y的分布也是一 个随机变量。下面讨论其分布。 设(X，Y)的联合分布律为 P{X=