复变函数与积分变换复习提纲(仅供参考).ppt

一、重点与难点 傅氏积分定理 若f(t)在(-?, +?)上满足条件: 1). f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2). f(t)在无限区间(-?, +?)上绝对可积, 则有 若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则在f(t)的连续点处, 有 称de(t)的弱极限为d-函数, 记为d(t).即 d-函数有性质: (1).线性性质 设F1(w)= ? [f1(t)], F2(w)= ? [f2(t)], a, b是常数,则 ?[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w) (4). 积分性质 卷积定理 假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件, 如 ?[ f1(t) ]=F1(w), ?[f2(t) ]=F2(w) 任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为 首先取傅氏变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取逆变换得最后的解. 如下图所示. 三、典型例题 两个常用的积分： 一般地，有 同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 ? -1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t) 4 Fourier变换的性质 (2).微分性质 如果f (t)在(-?, +?)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|?+?时, f(t)?0, 则 ?[f (t)]=j w ? [f (t)]. 同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设 ? 若 =? 为实常数,则 ? ? (3). 位移性质: 2）象函数的位移性质 若 =? 为实常数,则 ? ? 1）象原函数的位移性质 ? ? 实际上, 只要记住下面几个常用的Fourier变换, 则所有的Fourier变换都无须用公式直接计算而可由Fourier变换的性质导出. 卷积满足下列性质: 5 卷积和卷积定理 则 ?[ f1(t) * f2(t) ] = F1(w)?F2(w)以及 ? ? 同理可得 单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用. 象原函数 (微分方程的解) 象函数 微分、积分方程 象函数的 代数方程 取傅氏逆变换 取傅氏变换 解代数 方程 6 微分、积分方程的Fourier解法 例1 求函数 的傅氏变换，其中 * 复变函数与积分变换A（闭卷）考试时间：2011年1月13日 14：00－16：00 电子信息1，2班：教三101 电子信息3，4班：教三103 考试题型：填空题8题（共32分）， 解答题7题（共68分）， 满分100分 其中： 积分变换不考填空题，只考 大题（占20分），复变函数 （占80分） 复变函数考查内容： 复数 (一般表示，三角表示，指数表示，实部，虚部，模) 复数的四则运算，幂与方根，单连通域的概念。 复变函数：主要考察把曲线从xy平面映到uv平面的象的求法。 第一章： 第二章： 解析函数：主要考察定义和P41页的定理一和二(C－R方程) 几个重要的初等函数的表达式(指数函数，对数函数，乘幂 函数与幂函数，三角函数与双曲函数) 第三章：重点是计算积分 复变函数积分的概念(理解，掌握积分路径与积分值的关系) 灵活应用柯西古萨基本定理，复合闭路定理，柯西积分公式，高阶导数公式解题 理解原函数与不定积分的概念及其计算。 掌握解析函数与调和函数的关系(已知解析函数的实部会求虚部，已知虚部会求实部) 第四章：重点是展开级数，求收敛域，求和函数 理解复数列级数的概念，理解泰勒，罗朗级数的定义 掌握幂级数求法，求收敛半径(比值和根值判别法) 使用已知级数(识记五种简单级数展开式)和间接法展开泰勒级数和罗朗级数(P117定理四)，注意在不同点展开后是不一样的。收敛域的求法。 第五章：判别孤立奇点类型，计算留数以及三种特殊类型的积分 判别孤立奇点类型(掌握三种孤立起点的定义，灵活运用)，理解无穷远点的性态。 灵活运用留数定理和几种计算规则来计算留数。理解无穷远点的留数转化为原点的留数的方法。 三种特殊类型的积分的计算，掌握使用条件以及如何转化为留数来计算的方法。 积分变换考查内容： 第一章：重点求函数的傅立叶变换，解微分和积分方程 理解傅立叶积分和傅立叶变换的概念 灵活应用傅里叶变换的性质(4条)和卷积定理来求傅里叶变换 掌握微分和积分方程的傅立叶解法 熟记若干简单的函数的傅立叶变换(傅立叶逆变换) 第二章：重点求函数的拉普拉斯变换，解微分和积分方程 理解拉普拉斯变换的概念 灵活应用拉普拉斯变换的性质(4条)和卷积定理来求拉普拉斯变换，以及理解用留数