复变函数解析函数的泰勒展式.ppt

称为 的 级零点。 若 定理4.17 不恒为零的解析函数 　　　以　　为　　　级零点的充要条件为： 其中　　　　　在点　　的邻域内解析， 且 证 必要性 由假设， 只要令 即可。充分性是明显的。 例4.7 考察函数 在原点　　　　的性质。 解 显然　　　　　在　　　　解析，且 　　为的三级零点 ，因 　如在　　　　　　内的解析函数　　　不恒为零，　　　为其零点，则必有　　的一个邻域，使得　　　　　在其中无异于　　　的零点。 （简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。） 定理4.20（唯一性定理）设 （1）函数 和 在区域 内解析； （2） 内又有一个收敛于 的点列 ，在其上 和　　 相等。 则　 和 在 　内恒等。 例4.9 　设 （1）　　　　　在区域　　内解析； （2）在　　　　内 ， 试证：在　　内　　　 　　　　　　或　 证 若有　　　　使 因　　　　在点　　　连续，故存在邻域　　　　，使在　　　内　　　　　恒为零。而由题设 故必 . 由唯一性定理 定理4.23（最大模原理） 设　　　　　在区域　　内解析，则　　　在　　　内任何点都不能达到最大值，除非　　在　　　内恒等于常数。 定理4.14（泰勒定理） 设 　 在区域 内解析， 只要圆　　　　　　含 于　 , 则在　 内能展成幂级数 泰勒展式 其中系数 泰勒系数 且展式是唯一的。 设函数 f(z) 在圆 内解析，那么在K内， 简单说法： 证 证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式 定理4.1的证明： 由于当 时， 又因为 定理4.1的证明： 所以 上式的级数当 时一致收敛。把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得 定理4.1的证明： 其中 由于z是U内任意一点，定理的结论成立。 2． 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况 定理4.16 如果幂级数的收敛半径 且 则在收敛圆周 上至少有一奇点。 即不可能有这样的函数　　　存在，它在　　　　　　 内与　　 恒等，而在 C上处处解析。 3．一些初等函数的泰勒展式 下面给出几个初等函数的泰勒展式，它们的形式与数学分析中大家熟知的形式是一致的。如 解 因　　　　在　　　内解析，故展 开后的幂级数在　　　　内收敛。已知 例４.３　将　　　在 展开成幂级数。 当　　　　　时将两式相乘得（按对角线方法） 例4.5 将　　　　　及 展为的幂级数。 解 因 同理 两式相加除以2 两式相减除以　　　得 例4.6 试将函数 按　　　　　的幂展开，并指明其收敛 范围。 解 第四节零点的孤立性与唯一性原理 1.?????? 解析函数零点的孤立性 定义4.7 设 在解析区域 一点 的值为零，则称 为解析函 数 的零点