复合函数的微商与反函数的微商.ppt

2-2 复合函数的微商与反函数的微商 定理1. 证 说明： 在上述证明过程中 例如, 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例 1 已知 求 解 令 则 例 2 已知 求 解 引入中间变量 则 例 3 求 的导数. 解 例 3 求 的导数. 解 例4 设 解 例5 设 求 解 思考: 若 存在 , 如何求 的导数? 这两个记号含义不同 练习: 设 解: 例 6 设 求 解 关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 思考 定理2 证 证 例 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 则 类似可求得 利用 , 则 2) 设 则 特别当 时, 小结: 例 8 证明 证 当 时， 是 的反函数， 那么根据定理2有 当 时，令 则 且 则 例 9 设 为任意实数，则有 证 当 时， ，故其导数为0,等于上式右端. 设 ，则有 故有复合函数微商公式有 1. 常数和基本初等函数的导数 基本求导法则与导数公式 2. 有限次四则运算的求导法则 ( C为常数 ) 3. 复合函数求导法则 4. 若初等函数在其定义域　　　　　　　　　　　　　　　内可导,则其导函数仍为　　　　　　初等函数 由定义证 , 说明: 最基本的公式 其它公式 用求导法则推出. 对数求导法 例 10 求 的导数 . 解 利用复合函数求导法则，得 补例 求 的导数 . 解 两边取对数 , 得 两边对 x 求导 第二章 习题2-1 2. (1);5.8.(7),(8),(9),(10);10.11.13. 习题2-2 1.(4);2.(2);3.(4),(7),(8), (10);4.(5),(6),(8), (13),(15),(16). 例 11 设 求 解 两边取绝对值然后取对数 , 得 两边对 求导数，得 注：取对数好处就是将乘法运算化为加法运算.