复数与复变函数一.ppt

* * 1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根 §3 复数的乘幂与方根 * 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 1. 乘积与商 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 * 几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。 定理1可推广到n 个复数的乘积。 o x y (z) z1z2 z2 * 要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1. * 定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。 证明 ? Argz=Argz2-Argz1 即： 由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2 ∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0） * 设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ。 2.复数的乘幂 定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=z?z???z（共n个）。 定义 特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ 一棣模佛(De Moivre)公式。 * 问题 给定复数z=re i ?，求所有的满足ωn=z 的 复数ω。 3.复数的方根 （开方）——乘方的逆运算 当z≠0时，有n个不同的ω值 相对应，每一 个这样的ω值都称为z 的n次方根， * 当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。 几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。 x y o * 例1 解 * 例 解 * * 例4 解 * 即 * 例 证 利用复数相等可知: * 等式得证. * 思考题 复数为什么不能比较大小？ * 思考题答案 由此可见, 在复数中无法定义大小关系. 放映结束，按Esc退出. * * 课程名称 复变函数 教 材 《复变函数》(四版) 西安交通大学高等数学教研室 编 总 学 时 32学时 课程简介 * 对 象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 主要内容 复变函数的积分、级数、留数、 共形映射等。 复数与复变函数、解析函数、 * 学习方法 复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处。但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 果。 * 背　景 　　复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。 * 　　复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透