多元函数取得极值的条件.ppt

* 必要条件 若函数f(x,y)在点P(x0,y0)存在两个偏导数，且 P(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点，则 驻点 充分条件 若函数z= f(x,y) 在点P(x0,y0)的某邻域内连续且存在一 阶及二阶偏导数，又 令 则 时具有极值，且当A0时有极大值，当A0 时有极小值。 0时没有极值 不能确定 n元函数取得极值的条件？ 梯度 具有偏导数， Hesse矩阵 必要条件 若n元函数f(x)在存在偏导数，且x*是函数f(x)的极值点，则 一阶条件 二阶条件 二阶充分条件 证明: 所以 对于多元函数的条件极值，在高等数学中给出Lagrange乘子法。Lagrange乘子法只给出可能极值点，没有给出判别这些点究竟是否是极值点的方法，也没有给出判别是极大值点还是极小值点的方法。 问题： 对于一般的有约束极值问题，取得极值的条件是什么？ 一般的约束极值问题： 几个概念： 可行域： 可行方向： (1) 指标集 起作用集 起作用约束在x的领域限制了可行点的范围。当点沿某些方向稍微离开x时，仍能满足约束条件；而沿另一些方向离开x时，不论步长多么小，都将违背这些约束。 对于非起作用约束（ci(x)0），x是否是局部最优解与这些非起作用约束无关。 序列可行方向： 序列可行方向的性质 设ci(x)在x处可微，则 证明 性质1 同样可证性质2 设fi(x)在x*处可微，且取得局部极小值，则 必要条件 说明 Lagrane函数 K——T条件等价于 λi称为Lagrange乘子 Lagrange乘子法 x*称为K——T点 一阶条件 证明 首先证明集合非空 由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解 考察方程组 是SFD(x*,X)的子集 而SFD(x*,X)是闭集，所以S*的闭包cl(S*) ?SFD(x*,X)，即 下面证明 下面证明d∈cl(S*) 于是 所以 定理得证 一阶充分条件 证明 *