多元函数微分学的几何应用.ppt

一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结 * 空间曲线的方程： 设上式中的三个函数均可导. 问题：研究 M 点的切线？ 割线MM’ 极限位置——切线 上式分母同除以 割线 的方程为 MM’ 的方向向量是什么？ ……(1) 曲线在M处的切线方程： 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. (1)式分母是什么？ 解 切线方程 法平面方程 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊情况分析： 切线方程为 切向量是什么？ 切向量为 所求切线方程为 法平面方程为 小结 求空间曲线的切线与法平面关键是求切向量 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 假设：在曲面上任取一条通过点 M 的曲线 令 则 切平面方程为 讨论：为什么？ 法线方程为 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 特殊情况：空间曲面方程形为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 讨论：法向量是什么？ 其中 单位法向量 如果法向量向下呢？ 解 切平面方程为 法线方程为 解 令 切平面方程 法线方程 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 法向量是什么？ 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足方程 切平面方程(1) 切平面方程(2) 讨论：为什么？ 小结 求曲面的切平面与法线关键是求曲面的法向量 切平面上点的竖坐标的增量 因为曲面在M处的切平面方程为 三、全微分的几何意义 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 求空间曲线的切线与法平面关键是求切向量 当空间曲线方程为一般式时，求切向量常常采用推导法 求法向量的方向余弦时注意符号 求曲面的切平面与法线关键是求曲面的法向量 全微分的几何意义 * * * *