多元函数微分法习题课.ppt

习题课 一、 基本概念 思考与练习 分析: 2. 证明: 例1. 已知 二、多元函数微分法 例2. 设 解法2 例3.设 练习题 解答提示: 3. 设 三、多元函数微分法的应用 例4.在第一卦限作椭球面 令 练习题： 2. 在第一卦限内作椭球面 作业 * 第九章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论二重极限 解法1 解法2 令 解法3 令 时, 下列算法是否正确? 解法1 解法2 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, 解法3 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽略了? 的任意性, 极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , ? 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在 . 提示: 利用 故f 在 (0,0) 连续; 知 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而 所以 f 在点(0,0)不可微 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求出 的表达式. 解法1 令 即 解法2 以下与解法1 相同. 则 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 显示结构 隐式结构 1. 分析复合结构 (画变量关系图) 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 f 与F分别具 解法1 方程两边对 x 求导, 得 有一阶导数或偏导数, 求 (99 考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边求微分, 得 化简 消去 即可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有二阶连续偏导数, 且 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数 2. 同济(下) P73 题12 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第 1 题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P73 题12 设 求 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ① ② 利用行列式解出 du, dv ： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入①即得 代入②即得 有连续的一阶偏导数 , 及 分别由下两式确定 求 又函数 答案: ( 2001考研 ） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.在几何中的应用 求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题 3. 在微分方程变形等中的应用 最小二乘法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的切平面, 使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 解: 设 切点为 则切平面的法向量为 即 切平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题归结为求 在条件 下的条件极值问题 . 设拉格朗日函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 切平面在三坐标轴上的截距为 由实际意义可知 为所求切点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 唯一驻点 例5. 求旋转抛物面 与平面 之间的最短距离. 解： 设 为抛物面 上任一点， 则 P