多元函数泰勒公式.ppt

一、高阶偏导数 定理7. 二、问题的提出 二、中值定理和泰勒公式 四、小结 * 4 泰勒公式与极值 高阶导数 中值定理和泰勒公式 问题 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 仍存在偏导数，则称它们为函数 的二阶 偏导数 则 证 令 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明: 函数在其定义区域内是连续的, 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 而初等 由 的连续性，当 时有 一元函数的泰勒公式： 证 引入函数 显然 内可微 ,由中值定理 其中记号 表示 表示 一般地,记号 证 引入函数 显然 由 的定义及多元复合函数的求导法则,可得 利用一元函数的麦克劳林公式，得 其中 证毕 其中 上式称为二元函数的拉格朗日中值公式. 例 6 解 其中 1、二元函数的泰勒公式； 2、二元函数的拉格朗日中值公式； 3、 阶麦克劳林公式；