多元函数的概念极限和连续.ppt

例2. 讨论函数 例8. 证明 1. 二元函数的极限 * * 7-2 多元函数的概念、 极限和连续 复 习 1. 平面区域 邻域、内点、外点、边界点、开集、开区域、 闭区域、有界区域、无界区域等 2. 多元函数概念 二元函数 (图形一般为空间曲面) 3. 将区域表示为不等式 (1) X—型区域 (2) Y－型区域 第七章 第二节 多元函数的基本概念 三、二元函数的极限 四、二元函数的连续性 一、平面区域 二、多元函数的概念 回忆一元函数: 描述性定义： 当 时， 函数 无限接近 于一个确定的常数A ， 则常数A叫函数 的极限. 如何定义二元函数 时的极限？ 三、二元函数的极限 在 时的极限定义： 三、二元函数的极限 对于二元函数 是定义域D内的点 当 时 ，对应的函数值 无限接近 于一个确定的常数A， 则称A为 时，函数 的极限 记为： 表示点P以任何方式趋于点 也就是 的距离 也就是 1. 二元函数极限的定义 注意： 2.二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系 （1）共同点 ●定义方式相同. 所以函数极限的性质仍成立， 如惟一性、保号性、局部有界性、夹逼准则、 法则等. 四则运算 ●在点 是否有定义并不影响极限是否存在 当(x, y)→(0,0)时,求函数 的极限。 例1 解 （2）不同点 二元函数极限 的方式（路径）不同 一元函数 的方式有两种，故有 的方式是任意的，有无数个. 沿任何路径 时极限存在且相等 反之, 函数趋于不同的值， 则可判定函数的极限不存在. 确定极限不存在的方法： (1)令P(x,y)沿y=kx趋向于 若极限值与k有关， 则可断言极限不存在； (2)找两种不同趋近方式， 使 存在， 但两者不相等， 此时也可断言f(x,y) 二元函数极限 极限存在. 也不能断定函数的 或有的极限不存在， 处极限不存在. 在点 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 例3 考察函数 在原点的二重极限. 线 趋于 时 (1)为了区分一元函数的极限,称二元函数的极限 叫二重极限. 说明： 称为累次极限,又叫二次极限. (3)累次极限的求法: 先求内层,再求外层. 二重极限 的求法无先后次序, （4）二重极限 不同. 与累次极限 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在. 如果它们都存在, 则三者相等. 同时求.而且 例如, 显然 但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 . （3）联系 由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同. 所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极限的四则运算法则，夹逼准则；无穷小的概 念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价 无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来. 但一元函数极限的充要条件及洛比达法则不能用 于多元函数极限 解 例4 求极限 例5 求 解 时 例6 求极限 解 其中 四、二元函数的连续性 回忆一元函数: 在 处连续的定义： (1)函数 在点 处有定义 如果 存在； 则函数 在点 连续. 如何定义二元函数 处的连续性？ 四、 二元函数的连续性 1.定义 设函数z=f(x，y)的定义域为D，点 若 则称函数z=f(x,y)在 处连续. 二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续,必须满足三个条件:①函数在点P0有定义;②函数在P0处的极限存在;③函数在P0处的极限与P0处的函数值相等. 如果f(x,y)在平面区域D内每一点处都连续,则称f(x,y)在区域D内连续,也称f(x,y)是D内的连续函数. 在区域D上连续函数的图形是一张既没有“洞”也没有“裂缝”的曲面. 例7 讨论函数 在原点处的连续性. 解 又 所以 由定义知:所给函数在原点处连续. 由例6 在(0,0)处连续. 证: 因为 故函数在(0,0)处连续 . 由夹逼准则得 例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 说明: 二元函数