多元数量值函数的导数与微分隐函数.ppt

2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 隐函数的求导法则 由一个方程确定的隐函数 由方程组确定的隐函数 一、一个方程的情形 公式： 三、小结 * * 隐函数的求导公式 解 令 则 解 令 则 解 令 则 思路： 解 令 则 整理得 整理得 整理得 设有一组方程 则称由 (1) 确定了隐函数组 之对应, 能使 其中 定义在 若存在 使得对于任给的 有惟一的 二、隐函数组 并有 关于隐函数组的一般情形 ( 含有 m + n 个变量的 m 个方程所确定的 n 个隐函数 )，在本章不作详 细讨论． 首先来看看, 若由方程组 (1) 能确定两个可微的隐 函数 , 则函数 应满 足何种条件呢? 不妨先设 都可微, 由复合求导法, 通过对 (1) 分别求关于 x 与关于 y 的偏导数, 得到 能由 (2) 与 (3) 惟一解出 　　　　　　　的充要 条件是雅可比 ( Jacobi ) 行列式不等于零，即 由此可见，只要 　　具有连续的一阶偏导数，且 其中 是满足 (1) 的某一 初始点, 则由保号性定理，　　　 使得在此邻域 内 (4)式成立． 根据以上分析, 便有下述隐函数组定理. 雅可比（ Jacobi, C.G.J. 1804-1851, 德国 ） 定理 ( 隐函数组定理 ) 设方程组 (1) 中的函数 F 与 G 满足下列条件： (i) 在以点 为内点的某区域 上连续； (ii) (初始条件); (iii) 在 V 内存在连续的一阶偏导数； (iv) 隐函数组定理 即有 则有如下结论成立： 且满足 必定存在邻域 其中 使得 在 上连续. 在 上存在一阶连续偏导 数, 且有 本定理的详细证明从略,下面只作一粗略的解释: ① 由方程组 (1) 的第一式 确定隐 函数 ② 将 代入方程组(1) 的第二式, 得 ③ 再由此方程确定隐函数 并代回至 这样就得到了一组隐函数 通过详细计算, 又可得出如下一些结果: 例1 设有方程组 试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函 数组？并计算各隐函数在点 处的导数. 解 易知点 满足方程组 (5) . 设 它们在　 上有连续的各阶偏导数. 再考察 在点 关于所有变量的雅可比矩阵 由于 因此由隐函数组定理可知, 在点 近旁可以惟一 地确定隐函数组: 但不能肯定 y , z 可否作为 x 的两个隐函数. 运用定理 18.4 的结论 , 可求得隐函数在点 处 的导数值: *注 通过详细计算, 还能求