多元数量值函数积分的概念和性质.ppt

第六章 2. 平面薄片的质量 6. 设函数 例1. 比较下列积分的大小: 例2. 估计下述积分的值 * 1.多元数量值函数积分的概念与性质 2.二重积分的计算 多元函数积分学 3.三重积分的计算 4.重积分的应用 5.含参变量的积分和反常积分 6.第一型线积分和面积分 7.第二型线积分和面积分 8.各种积分的联系及其在场论中的应用 解法: 类似求曲边梯形面积的思想: 1. 曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小(分), 常代变(匀), 近似和(合), 求极限(精)” D 第一节 多元数量值函数积分的概念与性质 1.1 引例 步骤如下： (3)用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶 柱体的体积， (4)曲顶柱体的体积 (1)先分割曲顶柱体的底， 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体 分为 n 个小曲顶柱体 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度 设D 的面积为? , 则 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小(分), 常代变(匀),近似和(合), 求极限（精）” 的思想来解决. 1)“大化小”（分） 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域 . 2)“常代变”（匀） 中任取一点 3)“近似和”（合） 4)“取极限”（精） 则第 k 小块的质量 1)“大化小”（分） 用Ω任意地分为 n 个小的部分 2)“常代变”（匀） 中任取一点 则第 k 小块的质量 3)“近似和”（合） 4)“取极限”（精） 定义: 将几何体 Ω 任意分成 n 个小部分 任取一点 若存在一个常数 I , 使 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 积分微元 记作 是定义在有界几何体Ω上的数量值函数 , λ为各小部分的直径中的最 大值. 1.2 多元数量值函数积分的概念 根据积分区域的类型不同，可将以上多元函数积分分成以下几种类型: 1.3 积分存在的条件和性质 若函数 推论1. 在D上可积. 在有界闭区域 D上连续, 则 推论2. 限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 积. 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 多元函数积分的性质 ( k 为常数) D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在 D 上 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 则 则 有类似结果. 在第一象限部分, 则有 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 从而 于直线的上方, 故在 D 上 解: D 的面积为 由于 积分性质5 即: 1.96 ? I ? 2 D * *