大学数学函数的连续性.ppt

* ◆函数的连续性(continuity) 气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化着，反映在函数关系上是函数的连续性。 当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为连续性。 连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。 自变量的增量 函数的增量 ◆增量的概念 定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义， 在区间(a , b)上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续,若在该区间左右端点处连续,称函数是闭区间上的连续函数。 x y o 如果函数y=f(x)在x0点连续, 则必须 同时满足下列三个条件： (1) f(x)在x0的某个邻域内有定义 极限值 存在 极限值与函数值 相等 定义2 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变 量的增量Δx=x-x0 趋于零时，对应的函数的增量 Δy=f(x0+Δx) - f(x0) 也趋于零，即 那末就称函数 y=f(x)在点x0连续. ◆连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线. 函数在一点处连续的本质特征：当自变量改变很微小时， 函数值变化也很微小 ◆连续性举例 1. 讨论绝对值函数在x=0处的连续性. 解 因为 所以 所以绝对值函数在 x=0 处连续 2.作为例子我们来证明函数y=sinx在区间 内是连续的 由三角公式有 一般地, 证明一个函数在某个区间内连续时, 宜使用等价定 义式 ; 若要证明函数在某点处连续, 则宜使用原定 义式 . 3. 设有函数 , 问 为何值时, 函数 在 点连续? 解 因为 要使函数在 点连续, 则应有 所以 ◆函数的间断点 discontinuity x y o 1 2 3 4 1 2 Discontinuity at x =1 and x =2 若函数 有下列三种情形之一： 则称函数 在点 处不连续，点 称为函数 的间断点。 不连续点 即为间断点 可去间断点(1)——第一类 点 x =1 是函数 f (x) 的可去间断点 x y o 1 1/2 1 ◆函数的间断点的类型 可去间断点(2)——第一类 ◆函数的间断点的类型 例如 但 不存在 点 称为函数的可去间断点。 1 跳跃间断点——第一类 y x o 点 x =0是函数 f (x) 的跳跃间断点。 ◆函数的间断点的类型 ◆函数的间断点的类型 无穷间断点——第二类 振荡间断点——第二类 点 x =0是函数 f (x) 的 振荡间断点。 ◆函数的间断点的类型 1 -1 解 这是一个初等函数，其定义域为 找出函数 的间断点，并判别其类型。 而 所以，x =1是函数的第一类的可去间断点；x =2是函数的第二类的无穷间断点。 不存在 而 设 求函数的间断点，并判别其类型。 解 由 的定义可知，函数在 内连续 而 所以，x=1是函数的第二类间断点(无穷间断点)， x=0是函数的第一类间断点(跳跃间断点)。 求 的值，使函数在点 处连续。 解 由连续性的定义可知，要使函数在 x=0 点连续，则应有 而 连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函数值，即极限号 lim 与函数号 f 可以交换次序。 连续函数求极限法则 例如, 一、 连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 例 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理1 单调连续函数的反函数仍是单调连续函数。即 例 定理2 连续函数的复合函数仍是连续函数。即 三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★