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矩阵特征值的计算 矩阵特征值的计算 矩矩阵阵特特征征值值的的计计算算 物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩 物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩 物物理理、、力力学学和和工工程程技技术术中中的的许许多多问问题题在在数数学学上上都都归归结结为为求求矩矩 阵的特征值和特征向量问题。 阵的特征值和特征向量问题。 阵阵的的特特征征值值和和特特征征向向量量问问题题。。 � A � 计算方阵 的特征值，就是求特征多项式方程： �� 计算方阵 的特征值，就是求特征多项式方程： 计计算算方方阵阵 的的特特征征值值，，就就是是求求特特征征多多项项式式方方程程：： | A− λI|= 0 n n−1 即 λ + pλ +⋅⋅⋅+ p λ+ p = 0 1 n−1 n λ 的根。求出特征值 后，再求相应的齐次线性方程组： ( A− λI) x= 0 λ 对应于 的特征向量 对应于 的特征向量 的非零解，即是对对应应于于 的的特特征征向向量量。这对于阶数较小的矩阵是 可以的，但对于阶数较大的矩阵来说，求解是十分困难，所以用 这种方法求矩阵的特征值是不切实际的。 � A B A B � 如果矩阵 与 相似，则 与 有相同的特征值。 �� 如果矩阵 与 相似，则 与 有相同的特征值。 如如果果矩矩阵阵 与与 相相似似，，则则 与与 有有相相同同的的特特征征值值。。 A 在相似变换下，把 化为最简单的形式。 在相似变换下，把 化为最简单的形式。 因此希望在在相相似似变变换换下下，，把把 化化为为最最简简单单的的形形式式。。一般矩阵 约当（Jordan）标准形 约当（Jordan）标准形 的最简单的形式是约约当当（（JJoorrddaann））标标准准形形。由于在一般情况下， 用相似变换把矩阵 A化为约当标准形是很困难的，所以设法对矩 阵 A依次进行相似变换，使其逐步趋向于一个约当标准形，从而 求出 A的特征值。 幂法 反幂法 幂法 反幂法 下面主要介绍求部分特征值和特征向量的幂幂法法、反反幂幂法法，求 雅可比（Jacobi)方法 雅可比（Jacobi)方法 实对称矩阵全部特征值和特征向量的雅雅可可比比（（JJaaccoobbii))方方法法，求任 QR方法 方法 意矩阵全部特征值的 方方法法。 1 §1 幂法与反幂法 §1 幂法与反幂法 §§11 幂幂法法与与反反幂幂法法 一、幂法 一、幂法 一一、、幂幂法法 A � 幂法：