三十六技之十二微量平衡加翻译,列出方程不用急.PDF

2006 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 教务电话 网管电话433 ____________________________________________________________________________________________ 三十六技之十二： “微量平衡加翻译，列出方程不用急” “规律翻译”与 “微量平衡分析”是解应用题的基本方法。 求解微分方程的应用问题包括三个主要步骤：列方程；解方程；分析解。列方程是根据 应用问题的己知条件，列出微分方程和确定定解条件；解方程是求出满足所列方程与条件的 函数；分析解是分析和检验所求的函数是否确实符合实际应用问题的要求。 这三步中关键是列方程。一般来说，列方程所涉及的知识多数超出数学内容的范围，不 过从数学方法的角度看，它可以归纳为两种主要方法：我们称之为 “规律翻译法”与 “微 量平衡分析法”. “规律翻译法”是把物理、力学等一些己知的规律、原理或假说；把曲线、图形的一些几 何特征或位置关系用等价的数学符号与相关概念的其“翻译”成微分方程。 “微量平衡分析法”是工程问题与其它学科中一种十分普遍的列微分方程的方法，它通 过对实际问题中称为“微小体”的某种平衡分析，找出“微小量”之间的关系。从数学上看, 就是找出末知函数的微分关系。 几类应用问题 y y y x ( )通过原点并在第一象限, 过其上任 例 12-1 曲线 y =f (x) Q P(x,y) ( ) P x y , 一点 作该曲线的切线及y 轴的垂线, 这二直线分别 0 x x 与y 轴交于T 点和Q 点。则三角形PQT 的面积与曲线在 T 0[, x ] 区间 上的曲边三角形面积的 3 倍。求其曲线的方程。 ⎛1 ′⎞ x 【解】列方程： ( ) , x ≥0 , . ⋅ (0) y 0 x xy y x dx 3 ⎜⎝2 ⎠⎟ ∫ 0 y y x ( ) ′ , 因曲线 通过原点并在第一象限, 则必有 (0) y 0 ≥ x ′( ) 2 ′ ( ) 2 ′′ ′ yx xy ≥0y⇒x dx 6 则存在 , x y xy2 ⇒y 6 +=−0 ; ≤δ 0≤, 0 x δ ∫ 0 λ 2