容斥原理棋盘多项式和有限制条件的排列.ppt

计数问题是组合数学研究的重要问题之一。 已学过的一些计数方法：如 加法法则，母函数方法等； 两个重要的计数原理：容斥原理和Pólya计数定理。 本次课我们先学习容斥原理及其应用。 解： 2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20。共10个； * * 3.1 容斥原理 3.1 容斥原理 例1 求不超过20的正整数中2或3的倍数的个数。 否！因为6，12，18在两类中重复计数，应减去。 3 的倍数是：3，6，9，12，15，18。共 6个； 答案是10+6=16个吗？ 故答案是：16-3=13 对于求两个有限集合A和B的并的元素数目，我们有 即具有性质A或B的元素的个数等于具有性质A的元素个数和具有性质B的元素个数减去同时具有性质A和B的元素个数。 (1) 定理1 3.1 容斥原理 3.1 容斥原理 A B A∩B U 3.1 容斥原理 定理2 3.1 容斥原理 A B C A∩B A∩B ∩C B∩C A∩C U 例2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修数学、物理的学生45人；同时修数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。假设每个学生至少修一门课，问这学校共有多少学生？ 3.1 容斥原理 解：令A为修数学的学生集合； B 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合； 即学校学生数为336人。 3.1 容斥原理 同理可推出： 利用数学归纳法可得一般的定理： 3.1 容斥原理 3.1 容斥原理 (4) 定理3 设 是有限集合，则 3.1 容斥原理 (5) 容斥原理指的就是（4）和（5）式。 用来计算有限集合的并或交的元素个数。 例3 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数. 3.1 容斥原理 解：令A为从1到500的整数中被3除尽的数的集 合，B为被5除尽的数的集合 被3或5除尽的数的个数为 解：令A、B、C分别为不出现a，b，c符号的集合。 即有 3.1 容斥原理 例4 求由a,b,c,d四个字母构成的n位符号串中a,b,c都至少出现一次的符号串数目。 a,b,c都至少出现一次的n位符号串数目为 3.1 容斥原理 例5 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求满足这些条件的排列数。 3.1 容斥原理 解：所有排列中，令 则 出现dog字样的排列，相当于把dog作为一个单元参加排列，故 类似有： 由于god,dog不可能在一个排列中同时出现，故： 3.1 容斥原理 由于gum,dog可以在dogum中同时出现，故有： 类似有 3.1 容斥原理 3.1 容斥原理 其余多于3个集合的交集都为空集。 3.1 容斥原理 故满足要求的排列数为： 1. 再解错排问题 n个元素依次给以标号1，2，…，n。n个元素 的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置 上的排列数。 设Ai 为元素i在第i位上的全体排列, i=1,2,…,n。 则有|U|=n!， 因元素i不能动，因而有： 3.2 容斥原理—应用 同理 每个元素都不在原来位置的排列数为 3.2 容斥原理—应用 3.2. 容斥原理—应用 2.1 棋盘多项式 n个不同元素的一个全排列可看做n个相同的棋子在n×n的棋盘上的一个布局。布局满足同一行（列）中有且仅有一个棋子 x x x x x 排列41352对应于如图所示的布局。 3.2. 容斥原理—应用 可以把棋盘的形状推广到任意形状： 布子规定同上。 令rk (C)表示k个棋子布到棋盘C上的方案数。 3.2. 容斥原理—应用 r1( )=1 r1( )=2 r1( )=2 r2( )=0 r2( )=1 3.2. 容斥原理—应用 规定 r0(C)=1，包括C=Ф时。 设Ci是棋盘C的某一指定格子所在的行与列都去掉后所得的棋盘；Ce是仅去掉该格子后的棋盘。 在上面定义下，显然有　　 rk(C)=rk-1(Ci)＋rk(Ce) 3.2. 容斥原理—应用 　从而 　　R(C) =∑ rk(C) xk = 1+ ∑ [rk-1(Ci)+ rk(Ce)]xk = x∑ rk(Ci)xk + ∑ rk(Ce)xk