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曲线积分与曲面积分 一、问题的提出 二、对坐标的曲线积分的概念 三、对坐标的曲线积分的计算 四、小结 * * 一、问题的提出 二、对坐标的曲线积分的概念 三、对坐标的曲线积分的计算 四、小结 第三节 对坐标的曲线积分(第二类 曲线积分) 实例: 变力沿曲线所作的功 常力所作的功 分割 求和 取极限 近似值 精确值 1.定义 类似地定义 2.存在条件： 3.组合形式 4.推广 5.性质 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 定理 特殊情形 例1 解 例2 解 注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同. 例3 解 注：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同. 例4、计算 为： ， t从0变到1的一段弧。 ， 例5、计算 为： 与 的交线。　　　　　　　　 四、 两类曲线积分之间的联系： （可以推广到空间曲线上 ） 可用向量表示 有向曲线元； 例６、把 化为对弧长的曲线积分，其中 为沿抛物线 从 到 的一段弧。 例、计算 ，其中 1)沿曲线 从 到 2)沿从 经 到 为 的一段弧。 的折线段。 例、计算 ，其中 为：从 沿曲线 到 。 1、对坐标曲线积分的概念 2、对坐标曲线积分的计算 3、两类曲线积分之间的联系 * * 当曲线的参数方程与参数的变化范围给定之后（例如：，，，是正常数），试问如何表示的方向（如表示为顺时针方向、逆时针方向）？ 例如：，，中 当从0变到时，取逆时针方向; 反之当从变到0时，取顺时针方向. 填空题: 对______________的曲线积分与曲线的方向有关； 设,则 ____________； 在公式 中,下 对应于的____点,上限对应于的____点； 4、两类曲线积分的联系是_______________________ _______________________________. 计算下列对坐标的曲线积分: 1、,为圆周及 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按 逆时针方向绕行)； 2、,为圆周 (按逆时针方向饶行)； 3、,其中为有向闭折线,这里 的依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4、,其中是以，, ,为顶点的正方形正向边界线 . 设轴与重力的方向一致,求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所作的功. 把对坐标的曲线积分化成对弧长的积分, 为: 在面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； 沿抛物线从点(0,0)到点(1,1)； 沿上半圆周从点(0,0)到点(1,1). 一、1、坐标； 2、-1； 3、起,点； 4、 . 二、1、 2、； 3、； 4、0. 三、. 四、1、 ； 2、 ； 3、 .