对坐标的曲线积分.ppt

§10.2 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系 变力沿曲线所作的功 质点在变力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B? 求变力F(x? y)所作的功? 提示? 把L分成n个小弧段? L1? L2? ? ? ?? Ln? 求功的过程? 变力在Li上所作的功的近似值为? 变力在L上所作的功的近似值为? 变力在L上所作的功的精确值为? 其中?是各小弧段长度的最大值? F在Li上所作的功Wi?F(?i? ?i)??si? 光滑曲线 P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi , [ ] 对坐标的曲线积分 设函数P(x? y)、Q(x? y)在有向光滑曲线弧L上有界? 把L分成n个有向小弧段L1? L2? ? ? ?? Ln? 其中Li是从(xi?1? yi?1)到(xi? yi)的小弧段? 记?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1? 在小弧段Li上任取一点(?i? ?)? 令?为各小弧段长度的最大值? 如果极限 总存在? 则称此极限为函数P(x? y) 在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分? 记作 ? 如果极限 总存在? 则称此极限为函数Q(x? y) 在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分? 记作 ? 对坐标的曲线积分 在积分中P(x? y)、Q(x? y)叫做被积函数? L叫做积分弧段? 说明? 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分? 对坐标的曲线积分 说明? 设?为空间内一条光滑有向曲线弧? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定义? 我们定义 对坐标的曲线积分的简写形式 在应用上经常出现的是 上式可记为 其中F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j? dr?dxi?dyj? 类似地? 有 其中A?P(x? y? z)i?Q(x? y? z)j?R(x? y? z)k? dr?dxi?dyj?dzk? 对坐标的曲线积分的性质 性质1 设?、?为常数? 则 性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2? 性质3 设L是有向光滑曲线弧? L?是L的反向曲线弧? 则 则 提示? 质点在变力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为 另一方面? 在L上任取一小段有向弧? 其起点和终点对应的参数分别为t和t?dt? 得功元素 ?F[?(t)? ?(t)]?dr dr?(dx? dy)?(??(t)dt? ??(t)dt)? dW 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x??(t)? y??(t)? 且L的起点和终点所对应的参数分别为?和?? 图形 F[?(t)? ?(t)]?(P[?(t)? ?(t)]? Q[?(t)? ?(t)])? 二、对坐标的曲线积分的计算 质点在变力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为 另一方面? 在L上任取一小段有向弧? 其起点和终点对应的参数分别为t和t?dt? 得功元素 ?F[?(t)? ?(t)]?dr ?P[?(t)? ?(t)]??(t)dt?Q[?(t)? ?(t)]??(t)dt? dW 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x??(t)? y??(t)? 且L的起点和终点所对应的参数分别为?和?? 于是 二、对坐标的曲线积分的计算 质点在变力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下沿光滑有向曲线弧L所作的功为 设光滑有向曲线弧L的参数方程为x??(t)?