对坐标的曲面积分.ppt

* * 对坐标的曲面积分 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算方法 三、两类曲面积分之间的联系 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 ? 的流量? . 说明: (1) 稳定流动. (2) 不可压缩流体. (3) 有向曲面. 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面分左侧和右侧 莫比乌斯带(单侧曲面的典型) 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦 0 为前侧 0 为后侧 封闭曲面 0 为右侧 0 为左侧 0 为上侧 0 为下侧 外侧 内侧 侧的规定 x y z O 在曲面的上侧cosg 0， ) g 在曲面的下侧cosg 0． g ( 例如: 由方程z?z(x, y)表示的曲面 分为上侧与下侧， ? 设 ? 为有向曲面, 其面元 在 xoy 面上的投影记为 的面积为 则规定 类似可规定 解决方法: 微积分思想 大化小,常代变,近似和,取极限. (1) 若 ? 是面积为S 的有向平面, 法向量: 流速为常向量: 则流量 (2) 若? 是一般的有向曲面, 法向量: 则流量 x y z O V(x, y, z) S 设 ? 为光滑的有向曲面, 在 ? 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, 分, 记作 P, Q, R 叫做被积函数; ? 叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 若对? 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 2. 定义. 称为Q 在有向曲面?上对 z, x 的曲面积分; 称为R 在有向曲面?上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面?上对 y, z 的曲面积分; 说明: (1) 流过有向曲面 ? 的流体的流量为 (2) 三个对坐标的曲面积分之和的简记形式： 如果S是分片光滑的有向曲面，则规定:函数在S上对坐标的 曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和． (3) 在分片光滑的曲面上对坐标的曲面积分： (4) 存在条件: (2) 用?ˉ 表示 ? 的反向曲面, 则 3. 性质 (1) 若 之间无公共内点, 则 二、对坐标的曲面积分的计算方法 定理: 设光滑曲面 是 ? 上的连续函数, 则 其中如果取曲面∑的上侧,则二重积分号前带正号; 如果取曲面∑的下侧,则二重积分号前带负号． 证: 说明: ? 若 则有 (前正后负) ? 若 则有 (右正左负) 顺口溜: 一投二代三定向 计算曲面积分 其中 是长方体 的整个表面的外侧， 把有向曲面 分成以下六部分： 的上侧； 的下侧； 的前侧； 的后侧； 的右侧； 例34.1. 解： 的左侧. a b x y z O c 除 外，其余四片曲面 在yoz面上的投影为0， 因此： 类似地可得： 于是所求曲面积分为： 解: 例34.2 计算 其中Σ是球面 1 2 2 2 = + + z y x 外侧 在 0 , 0 3 3 y x 的部分 . 取下侧; 取上侧; 三、两类曲面积分之间的联系 (对坐标的曲面积分) (对面积的曲面积分) 事实上, 曲面的方向用法向量的方向余弦刻画 注: 向量形式 记 有向曲面? 的单位法向量为 令 则 ( A 在 n 上的投影) 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为 解: 。 求E 通过球面 ? : r = R 外侧的电通量 ? . 例34.3. 设 是其外法线与 z 轴正向 夹成的锐角, 计算 解: 例34.4. 计算曲面积分 其中? 解: 利用两类曲面积分的联系, 有 ∴ 原式 = 旋转抛物面 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 例34.5. 原式 = 当在有向光滑 曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在.