导数的概念可导与连续的关系.ppt

* 2.1.2 导数的概念 --可导与连续的关系  * 导数定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx?0 时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即: 复习： 1.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 存在，则称 f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否则，称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别 1） 若 若记x=x0+?x, 当?x?0时, x? x0, 特别，取x0 = 0, 且若 f (0) = 0, 有 2）导数定义还有其他等价形式, 3）由于 称为 f (x)在x0的右导数. 称为 f (x)在x0的左导数. 定理： f (x) 在x0可导? f (x)在x0的左, 右导数存在且相等. 4）如果函数y＝f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导, 就说函数y＝f(x)在开区间(a,b)内可导，这时， 对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一 个确定的导数 ，这样就在开区间(a,b)内 可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。 5）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。 2.导数与导函数的区别与联系 区别： 是一常数。 是一函数。 联系： 即 函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的值， 注：通常，导函数也简称为导数． ？ 3. 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是: 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式. 4.求函数y=f(x)的导数可分如下三步: 5.导数的几何意义 1.几何意义 切线方程为 法线方程为 1）函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲 线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导。如函数 在x=0处有切线，但不可导。 2）求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 例:证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数; (2)可导的奇函数的导函数为偶函数. 证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x). (2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练 习用. 例7. 问曲线 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处 的切线与直线 平行 ? 写出其切线方程. 解: 令 得 对应 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为 即 故在原点 (0 , 0) 有垂直切线 二、新课： 求导数举例　 例1　求函数 解： 即 例2　求函数 解 即 即 如 又如 即 更一般地，对于幂函数 在上面的例子中，将 换成 得 例3　 解 即 类似可得 例4求函数f(x)=cos x的导数? 解 例5 解 因此 所以 特殊地，当a＝e时， (sin x)?=cos x? (cos x)?=-sin x ? (ax)?=axln a? 特别地有(ex )?=ex ? 例6 求对数函数y=log ax的导数? 解 以上得到的是部分基本初等函数的导数公式.