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第四章　导热问题的数值解法 上海交通大学 第四章　导热问题的数值解法 §4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立 1 物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程 若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分： 同样可得：  对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为： 其节点方程为： 4.3非稳态导热问题的数值解法 非稳态导热与问题导热的主要区别在于控制方程中多了一个非稳态项，而其中扩散项的离散与稳态导热的是一样的，因此，本节讨论的重点在非稳态项的离散以及扩散项离散时所取时间层的不同对计算结果的影响。 1.1时间空间区域的离散化 1.非稳态项的离散 以一维非稳态导热为例讨论时间－空间区域的离散化。如图所示，x为空间坐标，我们将计算区域划分为（N-1）等份，得到N个空间节点；τ为时间坐标，我们将时间坐标上的计算区域划分为（I-1）等份，得到I个时间节点。从一个时间层到下一个时间层的间隔Δτ成为时间步长。空间网格线与时间网格线的交点，如（n,i）代表了时间－空间区域中的一个节点的位置，相应的温度记为 。 1.2非稳态项的离散有三种不同的格式 ①向前差分 如将函数t在节点(n，i＋1)对点(n,i)作泰勒级数展开，则有 于是有 同样，此处符号 表示余项中△τ的最低阶为一次。 可得在点（n，i）处一阶导数的差分表示式： ，此式称 为的向前差分。 ②类似的，如将函数t在节点(n，i－1)对点(n,i)作泰勒级数展开，可得 的向后差分的表达式 ③如将函数t在节点(n，i－1)及(n,i＋1)处的展开式相加，则可得一阶导数的中心差分表达式 在非稳态导热的数值计算中，非稳态项的上述三种差分格式都有采用，本书主要采用向前差分的格式，但也简单介绍了向后差分的格式。 * * §4-0 引言 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数值计算 法；(3) 实验法 三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解； (2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解； (3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法 3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见 (2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低 (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵 数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD） 建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化） 建立节点物理量的代数方程 设立温度场的迭代初值 求解代数方程 是否收敛 解的分析 改进初场 是 否 二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题 2 例题条件 控制方程：是指描写物理问题的微分方程 针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为： 其四个边的边界条件为三个边界条件中的一种， 三个边界条件为： x y n m (m,n) M N 3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长 二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题 用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若