2014江门中职数学期中模考试题及答案：解答题05.doc

江门中职数学期中模考试题及答案：填空题 解答题本大题共小题，共分.（本小题满分12分） 在△中，内角A，B，C所对的分别是，，。已知，,． （I）求sinC和b的值； （II）求的值． 18.（本小题满分12分） 如图5，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形， AB＝2AD＝2，BD＝，PD⊥底面ABCD. （Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD； （Ⅱ）若二面角P—BC—D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值. 19.（本小题满分12分） 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下： 您是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 （Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例； （Ⅱ）通过计算说明，你能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ 附： K2= 20.（本小题满分12分） 已知椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），它的一个顶点为M(0，1)，离心率e＝ . （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝3.求证：直线AB过定点，并求该定点. 21.（本小题满分12分） 已知a∈R，函数f(x)＝＋lnx－1，g(x)＝(lnx－1)ex＋x（其中e≈2.718）. （Ⅰ）求函数f(x)在区间(0，e]上的最小值； （Ⅱ）是否存在实数x0∈(0，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数的值． 解答题本大题共个小题，共分.（本小题满分12分） 解：(I)在三角形ABC中，由，可得 又由及，, 可得. 由余弦定理，得，又因为，故解得， 所以，. (Ⅱ)由，， 可得， 所以， 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为CD2＝BC2＋BD2，所以BC⊥BD. 又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC. 又因为PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD. 而BC平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD. （Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD. 所以∠PBD即为二面角P—BC—D的平面角，即∠PBD＝ . 而BD＝，所以PD＝1. 分别以DA，DB，DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)， 所以AP＝(－1，0，1)，BC＝(－1，0，0)，BP＝(0，－，1). 设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)， 则 即 可解得n＝(0，1，)， 所以AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ＝＝＝. 19.（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为％.(Ⅱ)，由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． 20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意，得 解得 ∴ 椭圆方程为＋y2＝1. （Ⅱ）显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋t，代入椭圆方程，得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1·x2＝， 由k1＋k2＝3，得＋＝3， ① 又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t， ② 由①，②得2k＋(t－1)·＝3，化简，得t＝ . 则直线AB的方程为y＝kx＋＝k(x＋)－1， ∴ 直线AB过定点(－，－1). 21.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵ f(x)＝＋lnx－1，x∈(0，e]，∴ f′(x)＝－＋＝ . 令f′(x)＝0，得x＝a. ① 若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值. ② 若0＜a＜e，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减；当x∈(a，e]时，f′(x)＞0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值lna. ③ 若a≥e，则f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值 . 综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上的无最小值；当0＜a＜e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为lna；当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为 . （Ⅱ）∵ g(x)＝(lnx－1)ex＋x，x∈(0，e]， ∴ g′(x)＝(lnx－1)′ex＋(lnx－1)(ex)′