第三章量子力学中的力学量介绍.ppt

求解此类问题的技巧：对于任意态 ，有时利用 直接积分既麻烦又易错；若能将 直接 改写成力学量本征态的叠加，可使问题一目了然。 例如 对于 针对动量 应展开为 针对一维无限深势阱，应展开为 例题2 粒子状态处于一维谐振子的基态 试求： （1）平均值 ；（2）平均值 ； （3）动量的概率分布。 解：（1） （2） （3） 动量本征函数 则 为 的函数！ 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * 量子力学中的力学量 经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描 述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一 个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状 态。但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了 一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学 量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿 始终。 本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学 习的重点。重点掌握以下内容： 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）； 两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米 算符的本征态表示； 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值； 四个本征态及本征值：坐标 或 、动量 或 、角动量 及 、能量（哈密顿量 ）。 本部分的难点是任意态 与力学量算符本征态 及力 学量概率态 的区别。 1 厄米算符 1.1 算符：算符 只是代表对函数施加某种运算的符号， 是一种数学语言工具。例如 等。量子力学中的力学 量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动 量 与 相当，自由粒子体系的能量 与 相当。 于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。 1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数 上，总会得到另一个构造不同的函数 但在特殊情况下，得到 （1） （2） (本征方程) 1.3 厄米算符： （1）算符 中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符 例如 ，则 ，一般来说， （2）算符 的转置算符定义为 ，即 一般为任意函数， ，例如算符 的转置算符为 这是因为 （3） （4） （3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为 ，即 一般来讲 但动量算符却例外 （4）厄米算符 满足 的算符称为厄米算符，又 称自厄算符。因此，只要称其为厄米算符，虽然没有任何标 记，但它都包含转置共轭的性质，如 为厄米算符，则有 此式为厄米算符的定义式，它的本征值具有特殊的结果：厄米算符的本征值都是实数 （5） （6） （7） 2 力学量用厄米算符表示 当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量 的测量值都是实数值，而算符只表示对态函数的某种作用， 并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数 值。进一步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定 的实数值。这提示我们，力学量的值只可能与厄米算符的本 征值相联系。于是提出假设：量子