六数理统计的基本概念.ppt

4、正态总体的抽样分布 定理4 性质2的应用 统计量的分布称为抽样分布,下面研究样本平均和样本方差的分布. 注意:下述定理是在总体为正态分布这一假设下得到的. 推论1 推论2 证明 证明 * * 第六章?? 数理统计的基本概念 数理统计和概率论一样都是研究随机现象的规律性.概率论是从给定分布出发来研究随机现象的规律，数理统计则是从实际观测的数据资料出发研究的. 数理统计处理问题基本思想：从被研究对象的全体中抽取一部分，根据这部分的情况对整体作出判断. 数理统计要解决两个问题：(1)抽取的对象要合理.即实验设计与抽样调查设计，目的是如何有效地收集数据；(2)数据处理要恰当，即对收集到的数据如何进行分析，并作出推断. 本课程只讨论数据处理，也叫统计推断.它包括参数统计、假设检验、方差分析、回归分析等内容. 第一节 概述 第二节 总体和样本 定义1 研究对象的全体称为总体(又叫母体)，而组成总体的每个对象称为个体。 由于总体就是一个随机变量(或向量)X,因此研究总体就是要研究X的概率分布或某些特征量. 在实际问题中，往往不需要研究总体的一切属性，而只要研究总体的某项数量指标，因此，可以把总体的某个数量指标的全体看成是总体，而把每个数值作为个体。若用一个随机变量X来描述总体的某个数量指标，则称随机变量X为总体.若X的分布函数为F(x)，则也称F(x)为总体的分布函数。 定义2 设总体X的分布函数为F(x)，对总体作n次抽样，第i次抽样所得的随机变量为Xi ，i=1,2,…,n,若X1 , X2, …，Xn相互独立且和X同分布，则称（X1 , X2 , …，Xn）为简单样本，简称为样本。 样本 总体中的一部分元素成为样本(又叫子样),这一部分元素的个数成为样本容量. 必须对抽取样本提出一些要求，这些要求主要有两条，第一是代表性，即要求抽取的样本确实能代表总体；第二是独立性，即每次抽取的结果互不影响. 设X是具有分布函数F的随机变量，若X1X2…Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1,X2,…,Xn 为来自总体X的样本容量为n的简单随机样本，它们的观察值x1，x2，…，xn称为样本值。 对于简单随机样本X1，X2，…，Xn ，其联合概率分布可以由总体X的分布完全确定。若总体X的分布函数为F(x)，则样本X1，X2，…，Xn的联合分布函数为 样本的联合分布 又若X具有概率密度 f(x)，则 X1，X2，…，Xn的联合概率密度为 则X1，X2，…，Xn的联合分布律为 若X的分布律为 例1　 设总体X～B(1,p)，X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本，求样本X1，X2，…，Xn的联合分布（称为样本分布）。 解: X的分布律为 所以样本X1，X2，…，Xn的联合分布律为 例2　 设总体X～N(μ,σ2).(X1，X2，…，Xn )是来自X的样本，求样本的联合密度. 解: 定义1 设X1,X2,…, Xn为来自总体X的样本, g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数,若g中不含任何未知参数,则称g(X1,X2,…,Xn)为统计量. 设x1, x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的样本值,则称g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的观察值. 第三节 统计量 统计量的概念 1.样本平均值 2.样本方差 3.样本标准差 4.样本k阶(原点)矩 5.样本k阶中心矩 常用的统计量 它反映了总体k 阶矩 的信息 它反映了总体k 阶 中心矩的信息 6.样本协方差 （样本相关矩） 7.样本相关系数 其中：X，Y为两个总体，(X1,X2,…,Xn )来自总体X的样本，(Y1,Y2,…,Yn )来自总体Y的样本. 它们的观察值分别为 例1　某班主任老师抽查了5名学生的高考成绩X和大学一年级5科的平均成绩Y结果如下表，求X,Y之间的样本相关系数. 80 68 69 72 81 大一成绩Y 518 525 506 515 521 高考成绩X 解： 例2　设总体X的期望、方差分别为 X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，其样本均值和样本方差分别记为 。求 由于 所以 顺序统计量（次序统计量） 定义2： 第k顺序统计X(k)是上述子样（X1,X2,…,Xn ）这样的一个函数，当样本（X1,X2,…,Xn ）取值（x1,x2,…,xn ）时， X(k