农大概率论课件 (3).ppt

主要内容 多维随机变量函数的数学期望 数学期望与方差性质的进一步讨论 协方差与相关系数 多维随机变量的数学期望和协方差阵 四、相关系数 为随机变量 X 和 Y 的相关系数(correlation coefficient) .（ 也记为?XY ) 定义: 设Var(X)0, Var(Y)0, 称 注:相关系数和协方差具有相同的符号. 例1 设 ( X ,Y ) ~ N ( ?1,?12;?2,?22 ; ?), 求?XY 解 若 ( X ,Y ) ~ N ( ?1, ?12, ?2, ?22, ?), 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关 思 考 题 若 X,Y 为两个标准正态分布，且不相关，是否能得到 X, Y 的独立性？ 考虑用X 的线性函数近似表示 Y 寻求 a, b ，使误差e(a,b) 达到最小： 考虑用X 的线性函数近似表示 Y 第三章第四节 多维随机变量的特征数 复习 设 X 是一个随机变量，Y=g(X)，则 其中, 当 X 为离散型时, P(X= xk)=pk ，k=1,2,…; 当 X 为连续型时, X 的密度函数为 p(x). 1、设二维离散型随机向量(X,Y)的分布列为P(X=xi,Y=yj)=pij , i , j=1,2, ? .,则: 2、设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为p(x,y), 则: 一、多维随机变量函数的数学期望 例 在长为a 的线段上任取两个点Ｘ与Ｙ，求此两点间的平均长度. 解 由已知，X 和 Y 独立且均服从 (0, a) 上的均匀分布，则（X，Y）的联合密度函数为 复习：数学期望、方差的性质 1. 2. 若k、b是常数, 则 二、数学期望与方差性质的进一步讨论 2. 设X、Y 独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 1. E(X+Y) = EX+EY 注:由 E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立 反例 X Y pij -1 0 1 -1 0 1 0 p? j pi? X Y P -1 0 1 但 证明：考虑连续型随机向量及 n=2 时， 思考 若 X，Y 相互独立，则 数学期望性质的应用 —（可加性） 例 求二项分布的数学期望. 若 X~b(n,p)，则X表示n重贝努里试验中 的“成功” 次数. 设 则 X= X1+X2+…+Xn = np i=1,2，…，n 因为 P{Xi =1}= p, P{Xi =0}= 1-p 所以 E(X)= E(Xi)= = p 例 将n 个球放入M 个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数 X 的期望. 解: 引入随机变量: 则 X=X1+X2+…+XM , 于是 E(X) = E(X1)+E(X2)+ …+E(XM). 每个随机变量Xi 都服从两点分布, i=1,2,…, M. 练习 利用数学期望的可加性计算负二项分布的期望. 3. 特别地，若 X ,Y 相互独立，则 若 相互独立， 为常数 则 注：若X ,Y 相互独立 性质 3 的证明： 当 X ,Y 相互独立时， 例 设随机变量X1, X2, X3 相互独立, 且 X1~U(0,6), X2~N(1,3), X3 ~Exp(3). 试求 Y = X1-2X2+3X3 的数学期望, 方差, 标准差. 解: 设随机变量序列 相互独立， 且有共同的方差： 则 例 思考 将n 个球放入M 个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数 X 的方差. 三、协方差 · 数 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 任意两个随机变量 X 和Y 的协方差（covariance）,记为Cov(X,Y), 定义为 Cov(X,Y) = E[ (X-EX)(Y-EY ) ] 1.定义 注:协方差反映了随机变量 X , Y 之间的 相互关联程度.特别,Cov(X,X)=VarX . Cov(X,Y) = 0 时, 称 X 与 Y 不相关. Cov(X,Y) = E(XY) -E(X)E(Y) 2.性质 (1) 协方差的简单计算公式 可见，若X 与Y 独立, Cov(X,Y)= 0; 但反之不然 . 证明： 证明: 例 设(X,Y)服从单位圆域 x2+y2≤1上的均匀分布, 证明Cov(X,Y) =0. ∴ Cov(