第十五章欧拉图与哈密顿图介绍.ppt

* * 定理15.6 设无向图G=V,E是哈密顿图，对于任意V1 ?V，且V1≠ ??，均有 p(G-V1)≤|V1| 证 设C为G中任意一条哈密顿回路， 易知，当V1中顶点在C上均不相邻时，p(C-V1)达到最大值|V1|， 而当V1中顶点在C上有彼此相邻的情况时，均有p(C-V1)|V1|， 所以有p(C-V1)≤|V1|. 而C是G的生成子图， 所以，有p(G-V1)≤p(C-V1)≤|V1|. 本定理的条件是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件。可以验证彼得松图满足定理中的条件，但它不是哈密顿图。当然，若一个图不满足定理中的条件，它一定不是哈密顿图 推论 设无向图G=V,E是半哈密顿图，对于任意V1 ?V，且V1≠ ??，均有 p(G-V1)≤|V1|+1 证 设P是G中起于u终于v的哈密顿通路，令G=G∪(u,v)（在G的顶点u,v之间加新边），易知G为哈密顿图，由定理可知，p(G-V1)≤|V1|.而有p(G-V1)=p(G-V1-(u,v))≤p(G-V1)+1≤|V1|+1. 例15.3 在图15.6中给出的三个图都是二部图。它们中的那些是哈密顿图？哪些是半哈密顿图？为什么？ G1不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。 G2是半哈密顿图 G3是哈密顿图 baegjckhfid为G2中一条哈密顿通路 如：abcdgihjefa 一般情况下，设二部图G=V1,V2,E，|V1|≤|V2|，且|V1|≥2，|V2|≥2， 1）若G是哈密顿图，则|V1|=|V2|。 2）若G是半哈密顿图，则|V2|=|V1|+1 3）若|V2|≥|V1|+2，则G不是哈密顿图，也不是半哈密顿图。 例15.4 设G是n阶无向连通图。证明：若G中有割点或桥，则G不是哈密顿图。 定理15.7 设G是n阶无向简单图，若对于G中任意不相邻的顶点vi,vj，均有 d(vi)+d(vj)≥n-1 则G中存在哈密顿通路。 证 首先证明G是连通图。 否则G至少有两个连通分支，设G1,G2是阶数为n1,n2的两个连通分支， 设v1∈V(G1)，v2∈V(G2)，因为G是简单图，所以 dG(v1)+dG(v2)=dG1(v1)+dG2(v2)≤n1-1+n2-1≤n-2 这与条件矛盾，所以G必为连通图。 下面证G中存在哈密顿通路。 设Г=v1v2…vl为G中用“扩大路径法”得到的“极大路径”， 即Г的始点v1与终点vl不与Г外的顶点相邻。 显然有l≤n 1)若l=n，则Г为G中哈密顿通路。 2)若ln，这说明Г不是哈密顿通路，即G中还存在着Г外的顶点。但可以证明G中存在过Г上所有顶点的圈。 (a)若v1与vl相邻，即(v1,vl)∈E(G)，则Г∪(v1,vl)为满足要求的圈。 (b)若v1与vl不相邻， 设v1与Г上的 ?????????????????????????????相邻（k≥2，否则d(v1)+d(vl)≤1+l-2=l-1n-1，这与（15.1）矛盾）， 此时，vl至少与 ??????????????????相邻的顶点?????????????????????????之一相邻（否则，d(v1)+d(vl)≤k+l-2-(k-1)=l-1n-1）， 设vl与 ?????相邻（2≤r≤k），见图(1)所示。于是，回路C= ?????????????????????????????????????????过Г上的所有顶点。 (c)下面证明存在比Г更长的路径。 因为ln，所以C外还有顶点，由G的连通性可知，存在vl+1∈V(G)-V(C)与C上某顶点vt相邻，见图(2)所示。 删除边（vt-1,vt）得路径Г= ????????????????????????????????????????? 比Г长度大1， 对Г上的顶点重新排序，使其成为Г=v1v2…vlvl+1， 对Г重复a）～c），在有限步内一定得到G的哈密顿通路。 推论 设G为n(n≥3)阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点vi,vj，均有 d(vi)+d(vj)≥n 则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图。 证 由定理15.7可知，G中存在哈密顿通路，设Г=v1v2…vn为G中一条哈密顿通路，若v1与vn相邻，设边e=(v1,vn)，则Г∪{e}为G中哈密顿回路。若v1与vn不相邻，应用（15.2），同定理15.7证明中的（2）类似，可证明存在过Г上各顶点的圈，此圈即为G中的哈密顿回路。 定理15.8 设u,v为n阶无向简单图G中两个不相邻的顶点，且d(u)+d(v)≥n，则G为哈密顿图当且仅当G∪(u,v)为哈密顿图（（u,v）是加的新边）。 例15.5 在某此国际