第四章多项式环与有限域介绍.ppt

§4.6 有限域的代数结构与多项式的因式分解 定理4.6.1 有限域的阶必为其特征(素数)之幂。 证明 设有限域的阶为q， 特征为p。 若α是域中的一个本原域元素， 则α的级为 q-1， 它的幂次生成了所有q-1个非0元素。 又设m是p关于模q-1的方次数， 则 pm≡1 (mod (q-1)) 或 因α的级为q-1， 所以 (q-1)｜(pm-1) ， 可知q≤pm。 另一方面， 由 可知， α是m次域元素， 则由定理4.5.10可知， 系数取自 GF(p) 上， 且次数低于m次的α多项式全体构成这个q阶有限域的pm阶子域， 所以 q≥pm。 比较上式得q=pm。 定理4.6.2 设 f(x)为p阶有限域GF(p)上的一个d次既约多项式， 则多项式剩余集合Fp［x］/f(x)构成pd阶有限域GF(pd)。 即GF(pd)是GF(p)的扩域， 且f(x)在GF(pd) 内有根。 定理4.6.3 (1) GF(pr)含有子域GF(ps)(GF(pr)GF(ps)) 的充要条件是s｜r； (2) 若 β∈GF(pr)， 则β∈GF(ps) 中的充要条件是βps =β。 特别是在任何域中若 β2=β， 则β是0或1。 例4.13 GF(2 12 ) 的子域如下图所示。 定理 4.6.4 q阶有限域中的每一元素均满足方程 n为任意自然整数。 定理4.6.5 p阶有限域上的每一个d次首一既约多项式， 皆能整除 ， 只要 d｜m。 定理4.6.6 系数取自 GF(p) 上的多项式 =所有次数除尽m的GF(p)上的首一既约多项式之积 定理4.6.7 若 f(x)为GF(p) 上的m次既约多项式，且m｜d， 则任何pd阶有限域必含有f(x) 的全部根。 证明 由定理4.6.6可知： g(x)是GF(p) 上的首一既约多项式。 另一方面在pd阶有限域F中， 可分解成pd个一 次因式的乘积 ? 所以 由于 GF(p)上的既约多项式f(x) 的次数m必整除d， 因此 f(x)必是上式方程左边的一个因式， 故可在等式右边挑出属于f(x) 的全部m个一次因式 由此定理知， 若d=m， 则m次首一多项式 f(x)的全部根在GF(pm)中， 称GF(pm)为f(x) 的包含所有根的最小扩域， 称为 f(x) 的分裂域或分解域。 如图 4 - 1所示， GF(pm)GF(pd)GF(p)。 若f(x)是GF(p)上的m次既约多项式， 则f(x)在GF(pm) 上能完全分裂成一次因式。 但它不能在任何中间域 GF(pd)上完全分裂， 所以GF(pm)上包含了f(x)的全部根， 是包含了f(x)全部根的GF(p) 的最小扩域。 图 4 – 1 分裂域之间的关系 GF(pm) GF(pd) GF(p) 定理4.6.8 GF(p) 上m次既约多项式的数目是 式中， μ(d)为Mobius函数。 (4.6.1) 例4.16 GF(2)上的三次既约多项式f(x)=x3+x+1，以它为模所构成的剩余类构成了(2 3)=8阶有限域 F2［x］／(x3+x+1)(GF(2 3))。 若f(x)的一个根为α， 则f(α)=α3+α+1=0， α3=α+1， 因而2 3阶有限域也可用低于三次的α多项式表示， 这时GF(2 3)中的自然基底就是{1， α， α2}。与此对应的也可用模f(x)剩余类及GF(2) 上的三维矢量表示， 当然也可用本原域元素α的各次幂表示， 如表 4 - 1所示。 表 4 - 1 表 4 - 2 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操，