第四章向量组的线性相关性介绍.ppt

人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * 第四章 向量组的线性相关性 1.线性表示 2.线性相关性 3.向量组的秩，最大无关组 4.线性方程组的解的结构 可到以下公共邮箱下载课件： caucla2013@163.com 密码：2013la 三、线性组合与线性表示 定义: 给定向量组A: ?1, ?2, ···, ?m, 对于任何一组实数k1, k2, ···,km, 向量 k1?1 + k2?2 + ··· + km?m 称为向量组A: ?1, ?2,···, ?m一个线性组合, k1, k2, ···,km称为这个线性组合的系数. 给定向量组A: ?1, ?2, ··· , ?m和向量b, 如果存在一组数?1, ?2, ···,?m, 使 b = ?1?1 + ?2?2 + ··· + ?m?m 则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量组A线性表示. 定理1: 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=(?1, ?2, ···, ?m)与B=(?1, ?2, ···, ?m, b)的秩相等. 定义: 设有两向量组 A: ?1, ?2, ···, ?m 与 B: ?1, ?2, ···, ?s . 若B组中的每一个向量都能由A组线性表示, 则称向量组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可以相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 定理2: 向量组B: ?1, ?2, ···, ?s能由向量组A: ?1, ?2, ···, ?m线性表示的充分必要条件是矩阵A=(?1, ?2, ···, ?m)的秩与矩阵(A|B)=(?1, ?2, ···, ?m, ?1, ···, ?s)的秩相等, 即R(A)=R(A|B). 推论: 向量组A与向量组B等价的充分必要条件是 R(A)=R(B)=R(A|B). 定理3: 若向量组B能由向量组A线性表示, 则R(B)?R(A). (必要条件) 四、线性相关性 定义: 给定向量组A: ?1, ?2, ···, ?m , 如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使 k1?1 + k2?2 + ··· + km?m = O 则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关. 定理4: 向量组?1, ?2, ···, ?m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(?1, ?2, ···, ?m)的秩小于向量个数m; 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m. 定理5: (1)若向量组A:?1, ?2, ···, ?m线性相关, 则向量组B: ?1, ?2, ···, ?m, ?m+1也线性相关; 反言之, 若向量组B线性无关, 则向量组A也线性无关. 结论: 向量组 ?1, ?2, ···, ?m (当 m?2 时)线性相关的充分必要条件是?1, ?2, ···, ?m中至少有一个向量可由其余 m–1个向量线性表示. 部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关。 (3) 设向量组A: ?1, ?2, ···, ?m线性无关, 而向量组 B: ?1, ?2, ···, ?m, ? 线性相关, 则向量? 必能由向量组A线性表示, 且表示式是唯一的. 即?j 添上一个分量后得向量?j. 若向量组A: ?1, ?2, ···, ?m线性无关, 则向量组B: ?1, ?2, ···, ?m也线性无关; 反言之, 若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关. (4)设 (2) m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关 定义: 设有向量组A, 如果在A中能选出r 个向量 A0: ?1, ?2,···, ?r, 满足 (1)向量组A0: ?1, ?2,···, ?r, 线性无关; (2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在的话)都线性相关. 那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组). 最大无关组所含向量个数r 称为向量组的秩. 五、向量组的秩 向量组秩的计算方法：写成矩阵形式，求矩阵的秩！ 定理6: 矩阵的秩等于它的列向量组